Prímhatvány

A matematikában, közelebbről a számelmélet és algebra területén a prímhatványok valamely prímszám pozitív egész hatványai. Például: 5 = 5¹, 9 = 3² és 16 = 2⁴ prímhatványok, míg 6 = 2 × 3, 15 = 3 × 5 és 36 = 6² = 2² × 3² egyike sem prímhatvány. Az egyet nem tekintjük prímhatványnak. A prímhatványok sorozata így kezdődik:

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, ... (A246655 sorozat az OEIS-ben).

Az 1-nél nagyobb kitevőjű prímhatványok (tehát a prímhatványok a prímszámok nélkül):

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 49, 64, 81, ... (A025475 sorozat az OEIS-ben).

A prím k-adik hatványok pedig:

A prímhatványok olyan pozitív egész számok, melyek pontosan egy prímszámmal oszthatók; a prímhatványokat általánosabb algebrai értelemben, kommutatív gyűrűben prímideálnak tekinthetjük; lásd prímideál-felbontás.

Tulajdonságaik

Az algebra területén

A prímhatványok prímszámok teljes hatványai. Minden prímhatványnak (2 hatványai kivételével) létezik primitív gyöke modulo n; tehát a modulo pⁿ egészek multiplikatív csoportja (vagy ekvivalensen a Z/pⁿZ gyűrű egységelemeinek csoportja) ciklikus csoportot alkot.

Véges test elemeinek száma mindig prímhatvány, és megfordítva, minden prímhatvány előáll valamely véges test elemeinek számaként (a véges testre ez a szám izomorfizmusig jellemző).

A kombinatorika területén

Az analitikus számelméletben gyakran felhasználják a prímhatványok azon tulajdonságát, hogy a nem prímszám prímhatványok halmaza kis halmaz – abban az értelemben, hogy reciprokainak végtelen sora konvergens – pedig a prímek maguk nagy halmazt alkotnak.

Az oszthatóság területén

Az Euler-függvény (φ), valamint a σ₀ és σ₁ osztóösszeg-függvények prímhatványok esetében a következően számíthatók:

${\displaystyle \phi (p^{n})=p^{n-1}\phi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}$

${\displaystyle \sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,}$

${\displaystyle \sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.}$

Minden prímhatvány hiányos szám. A pⁿ prímhatvány egy n-majdnem prím. Nem ismert, hogy egy pⁿ prímhatvány lehet-e barátságos szám. Ha van ilyen közöttük, akkor pⁿ-nek nagyobbnak kell lennie 10¹⁵⁰⁰-nál, n-nek pedig 1400-nál.

Művészetben

Az 1997-es A kocka című filmben a prímhatványok fontos szerepet játszanak, halálos veszélyeket jelölnek a labirintusszerű kockában.

Kapcsolódó szócikkek

• Teljes hatvány
• Majdnem prím
• Félprím

Jegyzetek

• Elementary Number Theory. Jones, Gareth A. and Jones, J. Mary. Springer-Verlag London Limited. 1998.