Lambert-féle W-függvény

A matematikában a Lambert-féle W-függvény, más néven az omega-függvény vagy a logaritmusszorzat-függvény, egy függvény, amely az inverze a z = f(W) = We^W függvénynek, ahol e^W az exponenciális függvény és W egy komplex szám. Tehát a definíció:

${\displaystyle z=W(z)e^{W(z)}}$

ahol z egy komplex szám.

Mivel az ƒ${\displaystyle \scriptstyle (\cdot )}$ függvény nem injektív így W többértékű (kivéve 0-ban). Ha leszűkítjük a függvényt a valós számok halmazára, akkor mind a függvényérték mind az argumentum valós szám lesz, és a függvény csak a −1/e-nél nagyobb argumentumra értelmezhető és kétértékű a ]−1/e-;0[ intervallumon. A W ≥ −1 kikötéssel egy egyértékű függvényt kapunk, amit W₀(x)-vel jelölnek. Adott hogy W₀(0)=0 és W₀(-1/e)=-1. A függvény "alsó részét", ami kielégíti a W ≤ −1 egyenlőtlenséget W₋₁(x)-el jelölik. Ez a függvény csökken, W₋₁(−1/e) = −1-től, W₋₁(0⁻) = −∞ -ig.

A Lambert-féle W nem fejezhető ki elemi függvényekkel.^[1] A függvény használatos a kombinatorikában, illetve bizonyos egyenletek megoldásakor amelyek tartalmaznak exponenciális függvényt. Szintén megjelenik bizonyos differenciál egyenletek megoldásakor mint például: y'(t) = a y(t − 1).

Jelölések

A Lambert-féle W függvényt Johann Heinrich Lambert után nevezték el. A "fő" W₀-et Wp-ként jelöli a Digital Library of Mathematical Functions a W₋₁-et pedig Wm-mel jelölik ugyanitt.

Az itt alkalmazott jelölések (a W₀ és a W₋₁) Corlesstől, Gonnettől, Hare-től, Jeffrey-től és Knuthtól származnak.^[2]

Története

Lambert Lambert's Transcendental Equation 1758-as műve^[3] vezetett Leonhard Euler 1783-as munkájához,^[4] amiben a we^w-t vizsgálta. Az első említése a we^w inverzének 1925-ből Pólyától és Szegőtől származik.^[5] A Lambert-féle W-függvényt kb. minden évtizedben "újrafelfedezték" különböző helyzetekben de a fontosságát csak az 1990-es években ismerték el. Az utolsó újrafelfedezés során felismerték hogy a függvény pontos megoldást szolgáltat a kvantummechanikai duplapotenciál-gödör Dirac delta modelljére. Corless és a Maple fejlesztői átnézve a tudományos irodalmat azt találták hogy a függvény sokszor felbukkan a természetben.^[2][6]

Analízis

Derivált

Implicit deriválással bizonyítható, hogy W különböző részei (alsó, felső) kielégítik a következő differenciálegyenletet:

${\displaystyle z(1+W){\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}=W\quad {\text{ha }}z\neq -1/e.}$

(W nem differenciálható a z = −1/e pontban.) Így W deriváltjára a következőt kapjuk:

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad {\text{ha }}z\not \in \{0,-1/e\}.}$

Továbbá:

${\displaystyle \left.{\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}\right|_{z=0}=1.}$

Primitív függvény

A W(x) függvény, és egyéb kifejezések, amelyek tartalmazzák W(x)-et, integrálhatóak, a w = W(x) helyettesítéssel, x = w e^w:

${\displaystyle \int W(x)\,{\rm {d}}x=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.}$

Aminek a következménye (felhasználva, hogy ${\displaystyle W(e)=1}$):

${\displaystyle \int _{0}^{e}W(x)\,{\rm {d}}x=e-1}$

Sorfejtés

A ${\displaystyle W_{0}}$ Taylor sora 0 körül megadható a Lagrange inverziós tételének segítségével:

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\cdots }$

A konvergenciasugár 1/e, ahogy a hányadoskritériumból látható. A fenti sor által definiált függvény kiterjeszthető holomorf függvénnyé a komplex számok halmzán, kivéve a ]−∞, −1/e] intervallumot.

Nagy x értékekre, W₀ aszimptotikusan egyenlő:

${\displaystyle W_{0}(x)=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}(-2+L_{2})}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}(6-9L_{2}+2L_{2}^{2})}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3})}{12L_{1}^{4}}}+\cdots }$

${\displaystyle W_{0}(x)=L_{1}-L_{2}+\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\ell }\left[{\begin{matrix}\ell +m\\\ell +1\end{matrix}}\right]}{m!}}L_{1}^{-\ell -m}L_{2}^{m}}$

ahol, ${\displaystyle L_{2}=\ln \ln x}$ és ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\ell +m\\\ell +1\end{matrix}}\right]}$ a nemnegatív Stirling szám.^[7] Csak az első két tagot megtartva a kifejtésből:

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+o(1).}$

A másik valós rész a, ${\displaystyle W_{-1}}$, a ]−∞, −1/e] intervallumon, hasonló közelítéssel rendelkezik ahogy x tart 0-ba tehát: ${\displaystyle L_{1}=\ln(-x)}$ and ${\displaystyle L_{2}=\ln(-\ln(-x))}$.

Egész és komplex hatványa a függvénynek

Egész hatványai a ${\displaystyle W_{0}}$ függvénynek szintén felírhatóak egyszerű Taylor (vagy Laurent) sorként a ${\displaystyle 0}$ pont körül:

${\displaystyle W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2(-n)^{n-3}}{(n-2)!}}\ x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\frac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots }$

Általánosabban, ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} ,}$-re, a Lagrange inverziós formula megadja hogy:

${\displaystyle W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r(-n)^{n-r-1}}{(n-r)!}}\ x^{n},}$

vagyis, a Laurent sor mértéke r.

Illetve:

${\displaystyle \left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=\exp(-rW_{0}(x))=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r(n+r)^{n-1}}{n!}}\ (-x)^{n},}$

ami igaz bármely ${\displaystyle r\in \mathbb {C} }$-re és ${\displaystyle |x|<e^{-1}}$-re.

Nevezetes értékek

Bármely nemnulla x algebrai számra, W(x) transzcendens szám. Ezt indirekt módon bizonyíthatjuk: Ha W(x) nemnulla algebrai szám lenne (megjegyzés: vagyis x és W(x) sem nulla), akkor a Lindemann–Weierstrass-tétel, alapján e^W(x) transzcendens, ami implikálja hogy x=W(x)e^W(x) szintén transzcendens, ami ellentmond annak, hogy x algebrai.

${\displaystyle W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}{\rm {i}}}$

${\displaystyle W\left(-{\frac {\ln a}{a}}\right)=-\ln a\quad \left({\frac {1}{e}}\leq a\leq e\right)}$

${\displaystyle W\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1}$

${\displaystyle W\left(0\right)=0\,}$

${\displaystyle W\left(1\right)=\Omega ={\frac {1}{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\,dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}}}-1\approx 0.56714329\dots \,}$ (az Omega konstans)

${\displaystyle W\left(e\right)=1\,}$

${\displaystyle W\left(-1\right)\approx -0.31813-1.33723{\rm {i}}\,}$

${\displaystyle W'\left(0\right)=1\,}$

Egyéb formulák

Számos hasznos integrálformula létezik ami W-t tartalmazza. Néhány ezek közül:

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }W{\bigl (}2\cot ^{2}(x){\bigr )}\sec ^{2}(x)\;\mathrm {d} x=4{\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\mathrm {d} x=2{\sqrt {2\pi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\;\mathrm {d} x={\sqrt {2\pi }}}$

A második azonosság levezethető a

${\displaystyle u=W(x)}$

helyettesítéssel ami így a következőket adja:

${\displaystyle x=ue^{u}}$

${\displaystyle {\frac {dx}{du}}=(u+1)e^{u}}$

Vagyis:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\mathrm {d} u}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}\mathrm {d} u}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}\mathrm {d} u}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }u^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}\mathrm {d} u+\int _{0}^{\infty }u^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}\mathrm {d} u}$

${\displaystyle =2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\frac {1}{2}}e^{-w}\mathrm {d} w+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-w}\mathrm {d} w}$ (helyettesítve ${\displaystyle u=2w}$-t)

${\displaystyle =2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\frac {1}{2}}e^{-w}\mathrm {d} w+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\frac {1}{2}}}e^{-w}\mathrm {d} w}$

${\displaystyle =2{\sqrt {2}}\Gamma ({\frac {3}{2}})+{\sqrt {2}}\Gamma ({\frac {1}{2}})}$

${\displaystyle =2{\sqrt {2}}({\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }})+{\sqrt {2}}({\sqrt {\pi }})}$

${\displaystyle =2{\sqrt {2\pi }}}$

A harmadik azonosság levezethető a másodikból a ${\displaystyle u={\frac {1}{x^{2}}}}$ helyettesítéssel.

Alkalmazások

Sok egyenlet ami exponenciális függvényt tartalmaz megoldható a W-függvénnyel. Az általános stratégia az, hogy minden ismeretlent egy oldalra viszünk, hogy az egyenletnek Y = Xe^X alakja legyen, ahonnan a W-függvény megadja X értékeit.

Vagyis:

${\displaystyle Y=Xe^{X}\;\Longleftrightarrow \;X=W(Y)}$

Példák

1. példa

${\displaystyle {\begin{aligned}2^{t}&=5t\\1&={\frac {5t}{2^{t}}}\\1&=5t\,e^{-t\ln 2}\\{\frac {1}{5}}&=t\,e^{-t\ln 2}\\{\frac {-\,\ln 2}{5}}&=(-\,t\,\ln 2)\,e^{(-t\ln 2)}\\W\left({\frac {-\ln 2}{5}}\right)&=-t\ln 2\\t&=-{\frac {W\left({\frac {-\ln 2}{5}}\right)}{\ln 2}}\end{aligned}}}$

Általánosságban a

${\displaystyle ~p^{ax+b}=cx+d}$

egyenlet, ahol

${\displaystyle p>0{\text{ and }}c,a\neq 0}$

átalakítható a következő helyettesítéssel:

${\displaystyle -t=ax+{\frac {ad}{c}}}$

A helyettesítés után:

${\displaystyle tp^{t}=R=-{\frac {a}{c}}p^{b-{\frac {ad}{c}}}}$

ami, a következő megoldásokat adja:

${\displaystyle t={\frac {W(R\ln p)}{\ln p}}}$

vagyis a végső megoldás:

${\displaystyle x=-{\frac {W(-{\frac {a\ln p}{c}}\,p^{b-{\frac {ad}{c}}})}{a\ln p}}-{\frac {d}{c}}}$

2. példa

${\displaystyle x^{x}=z\,}$

${\displaystyle \Rightarrow x\ln x=\ln z\,}$

${\displaystyle \Rightarrow e^{\ln x}\cdot \ln x=\ln z\,}$

${\displaystyle \Rightarrow \ln x=W(\ln z)\,}$

${\displaystyle \Rightarrow x=e^{W(\ln z)}\,,}$

vagyis,

${\displaystyle x={\frac {\ln z}{W(\ln z)}},}$

mert

${\displaystyle \ln z=W(\ln z)e^{W(\ln z)}\,}$

a definíció szerint.

3. példa

Amikor egy komplex végtelen tetráció

${\displaystyle z^{z^{z^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}\!}$

konvergál, a W-függvény megadja a határértéket:

${\displaystyle c={\frac {W(-\ln(z))}{-\ln(z)}}}$

ahol ln(z) jelöli a komplex logaritmust. Ez bizonyítható azzal a megfigyeléssel hogy:

${\displaystyle z^{c}=c}$

ha c létezik, vagyis

${\displaystyle z=c^{\frac {1}{c}}}$

${\displaystyle \Rightarrow z^{-1}=c^{-{\frac {1}{c}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {1}{z}}=\left({\frac {1}{c}}\right)^{\left({\frac {1}{c}}\right)}}$

${\displaystyle \Rightarrow -\ln(z)=\left({\frac {1}{c}}\right)\ln \left({\frac {1}{c}}\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow -\ln(z)=e^{\ln \left({\frac {1}{c}}\right)}\ln \left({\frac {1}{c}}\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow \ln \left({\frac {1}{c}}\right)=W(-\ln(z))}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {1}{c}}=e^{W(-\ln(z))}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {1}{c}}={\frac {-\ln(z)}{W(-\ln(z))}}}$

${\displaystyle \Rightarrow c={\frac {W(-\ln(z))}{-\ln(z)}}}$

ami az elvárt eredmény.

4. példa

A

${\displaystyle x\log _{b}\left(x\right)=a}$

megoldásai

${\displaystyle x=e^{W(a\ln b)}.}$

alakúak.^[6]

5. példa

Az áramerősség egy összetett ellenállás/dióda kapcsolásban leírható a W függvény segítségével. Lásd dióda modellezés.

6. példa

A

${\displaystyle {\dot {y}}(t)=ay(t-1)}$

differenciálegyenlet, karakterisztikus egyenlete ${\displaystyle \lambda =ae^{-\lambda }}$, ami ${\displaystyle \lambda =W_{k}(a)}$ -hoz vezet és ${\displaystyle y(t)=e^{W_{k}(a)t}}$-hoz. Ha${\displaystyle a\geq e^{-1}}$, csak ${\displaystyle W_{0}(a)}$ -t kell figyelembe venni.

Általánosítás

A hagyományos W-függvény megadja a pontos megoldásait a transzcendens algebrai egyenleteknek, amik a következő formájúak vagy ilyen formára hozhatóak:

${\displaystyle e^{-cx}=a_{o}(x-r)~~\quad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)}$

ahol a₀, c ér r valós konstansok. A megoldás ${\displaystyle x=r+{\frac {1}{c}}W\!\left({\frac {c\,e^{-cr}}{a_{o}}}\right)\,}$.

Grafikon

• A Lambert-féle W-függgvény ábrázolása a komplex síkon
• 
  z = Re(W₀(x + i y))
• 
  z = Im(W₀(x + i y))
• 
  z = W₀(x + i y)
• 

Közelítő eljárások a kiszámítására

A W-függvény közelíthető Newton-módszerrel, egymást követő közelítésekkel ${\displaystyle w=W(z)}$ (vagyis ${\displaystyle z=we^{w}}$):

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}+w_{j}e^{w_{j}}}}.}$

A W-függvény szintén közelíthető Halley-módszerrel,

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}(w_{j}+1)-{\frac {(w_{j}+2)(w_{j}e^{w_{j}}-z)}{2w_{j}+2}}}}}$

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Lambert W function című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek

Források

• (1996) „On the Lambert W function”. Advances in Computational Mathematics, Berlin, New York 5, 329–359. o, Kiadó: Springer-Verlag. [2010. december 14-i dátummal az eredetiből archiválva]. DOI:10.1007/BF02124750. ISSN 1019-7168. (Hozzáférés: 2014. április 14.)  
• Chapeau-Blondeau, F. and Monir, A. (2002). „Evaluation of the Lambert W Function and Application to Generation of Generalized Gaussian Noise With Exponent 1/2”. IEEE Trans. Signal Processing 50 (9). [2012. március 28-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2014. április 14.)  
• Francis et al. (2000). „Quantitative General Theory for Periodic Breathing”. Circulation 102 (18), 2214. o.   (Lambert function is used to solve delay-differential dynamics in human disease.)
• Hayes, B. (2005). „Why W?”. American Scientist 93, 104–108. o.  
• Sablon:Dlmf
• (2005) „A New Elementary Function for Our Curricula?” (PDF). Australian Senior Mathematics Journal 19 (2), 8–26. o, Kiadó: Australian Association of Mathematics Teachers. ISSN 0819-4564. ERIC EJ720055.  
• (2006) „General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function”. AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing) 17 (1), 41–47. o. DOI:10.1007/s00200-006-0196-1.  
• Veberic, D., "Having Fun with Lambert W(x) Function" arXiv:1003.1628 (2010); (2012) „Lambert W function for applications in physics”. Computer Physics Communications 183, 2622–2628. o. DOI:10.1016/j.cpc.2012.07.008.  
• Scott, T. C. (2013). „Asymptotic series of Generalized Lambert W Function”. SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation) 47 (185), 75–83. o.  
• Scott, T. C. (2014). „Numerics of the Generalized Lambert W Function”. SIGSAM 48 (1/2), 42–56. o.  
• Maignan, Aude (2016). „Fleshing out the Generalized Lambert W Function”. SIGSAM 50 (2), 45–60. o. DOI:10.1145/2992274.2992275.  

Külső linkek

• National Institute of Science and Technology Digital Library - Lambert W
• MathWorld - Lambert W-Function
• Computing the Lambert W function
• Corless et al. Notes about Lambert W research
• Extreme Mathematics. Monographs on the Lambert W function, its numerical approximation and generalizations for W-like inverses of transcendental forms with repeated exponential towers.
• GPL C++ implementation with Halley's and Fritsch's iteration.
• Special Functions of the GNU Scientific Library - GSL