Hiperbola (matematika)

Ez a szócikk a matematikai fogalomról szól. Hasonló címmel lásd még: Hiperbola (egyértelműsítő lap).
Hiperbola
Hiperbola

A matematikában hiperbolának azokat a kúpszeleteket nevezik, amelyek úgy jönnek létre, hogy a végtelen kettős kúpot (forgáskúpot) metsző sík mindkét félkúpot metszi (a síknak a kúp tengelyével bezárt szöge kisebb, mint a kúp félnyílásszöge és a metsző síkra nem illeszkedik a kúp csúcsa).

A hiperbola úgy is definiálható, hogy azon pontok halmaza, melyeknek két rögzített ponttól (fókusz- vagy gyújtópontoktól) való távolságának különbségének abszolút értéke állandó. A két definíció azonosságának bizonyítását lásd a Dandelin-gömböknél.

A hiperbola a kétdimenziós Descartes-koordináta-rendszerben az alábbiakkal is definiálható:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,} és B 2 > 4 A C {\displaystyle B^{2}>4AC\,} ,

ahol az összes együttható (A,…,F) valós, és több, mint egy (x,y) megoldás létezik. Ekkor ezek az (x,y) megoldások adják meg (koordinátaként) a hiperbola pontjait.

Hiperbola
Hiperbola
Konjugált hiperbolák

Definíciók

  • A hiperbola a fentieken kívül úgy is definiálható, hogy azon pontok halmaza, melyeknek egy adott ponttól (egyik fókusztól) való távolsága és egy egyenestől (direktrixtől vagy vezéregyenestől) való távolsága hányadosa állandó és nagyobb 1-nél. Ez az állandó a hiperbola excentricitása.
  • A hiperbola másik, már említett definíciója: Azon pontok mértani helye, melyek a két fókuszponttól való távolságuk különbségének abszolút értéke állandó. Az ábra jelöléseivel:
| d 2 − d 1 | = 2 a {\displaystyle \left|d_{2}-d_{1}\right|=2a} .

A fókuszpontok a hiperbola egyik szimmetriatengelyén fekszenek, a köztük lévő távolság felezőpontját a hiperbola középpontjának nevezzük, a másik szimmetriatengely az elsőre a középponton átmenő merőleges egyenes.

A hiperbolának két, egymást nem metsző és nem érintő ága van. Minden határon túl növekvő távolságra fókuszoktól a hiperbola egy egyeneshez tart, melyet aszimptotának hívnak.

Konjugált hiperboláknak azokat nevezik, melyeknek aszimptotái megegyeznek, csak az aszimptoták különböző oldalain helyezkednek el.

A konjugált hiperbola speciális esete az egyenlő szárú vagy egyenlő oldalú hiperbola, melynél az aszimptoták által bezárt szög derékszög. Annak az egyenlő szárú hiperbolának az egyenlete, melynek aszimptotái a koordinátatengelyekre esnek: xy=c, ahol c állandó.

Ahogy a szinusz és koszinusz függvényekkel az ellipszis egy parametrikus egyenletrendszerét lehet felírni, a szinusz hiperbolikusz és koszinusz hiperbolikusz függvények a hiperbola parametrikus egyenletrendszerét adják.

Egyenletek

Descartes koordinátákkal

Kelet–nyugat irányban nyitott hiperbola:

( x − h ) 2 a 2 − ( y − k ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1}

Észak-dél irányban nyitott hiperbola

( y − k ) 2 a 2 − ( x − h ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {\left(y-k\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(x-h\right)^{2}}{b^{2}}}=1}

Mindkét képletben (h,k) a hiperbola középpontja, a a fél-nagytengely (a két ág közötti távolság fele) és b a fél-kistengely. Megjegyezzük, hogy b lehet nagyobb, mint a.

Az excentricitás:

e = 1 + b 2 a 2 {\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}

A kelet–nyugat irányban nyitott hiperbola fókuszpontjai:

( h ± c , k ) {\displaystyle \left(h\pm c,k\right)}

és ugyanez észak-dél irányban nyitott hiperbolára:

( h , k ± c ) {\displaystyle \left(h,k\pm c\right)} ahol c 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}

Egyenlő szárú hiperbolák egyenlete, melyek aszimptotái párhuzamosak a koordináta tengelyekkel:

( x − h ) ( y − k ) = c {\displaystyle (x-h)(y-k)=c\,}

Polárkoordinátákkal

Kelet–nyugat irányban nyitott hiperbola:

r 2 = a sec ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=a\sec 2\theta \,}

Észak-dél irányban nyitott hiperbola

r 2 = − a sec ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=-a\sec 2\theta \,}

Északkelet-délnyugat irányban nyitott hiperbola

r 2 = a csc ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=a\csc 2\theta \,}

Északnyugat-délkelet irányban nyitott hiperbola

r 2 = − a csc ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=-a\csc 2\theta \,}

Az összes egyenletben a középpont az origóban van és a a fél-nagytengely.

Parametrikus egyenletek

Kelet–nyugat irányban nyitott hiperbola:

x = a sec ⁡ t + h {\displaystyle x=a\sec t+h\,} vagy x = a cosh ⁡ t + h {\displaystyle x=a\cosh t+h\,}
y = b tan ⁡ t + k {\displaystyle y=b\tan t+k\,} vagy y = b sinh ⁡ t + k {\displaystyle y=b\sinh t+k\,}

Észak-dél irányban nyitott hiperbola

x = a tan ⁡ t + h {\displaystyle x=a\tan t+h\,} vagy x = a sinh ⁡ t + h {\displaystyle x=a\sinh t+h\,}
y = b sec ⁡ t + k {\displaystyle y=b\sec t+k\,} vagy y = b cosh ⁡ t + k {\displaystyle y=b\cosh t+k\,}

Mindkét egyenletben (h,k) hiperbola középpontja, a a fél-nagytengely, b a fél-kistengely.

Források

  • I.N. Bronstejn-K.A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 6. kiadás (Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987.)
  • Pattantyús Gépész és villamosmérnökök kézikönyve 2. kötet (Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1961.)

További információk

Commons:Category:Hyperbolas
A Wikimédia Commons tartalmaz Hiperbola (matematika) témájú médiaállományokat.
  • Egységhiperbola
  • Kúpszelet
  • Konjugált hiperbola
  • Mathworld – Hiperbola

Kapcsolódó szócikkek

Nemzetközi katalógusok