Hermite-polinomok

Az Hermite-polinomok olyan polinomok, amelyek kielégítik a következő differenciálegyenletet:

H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}e^{-x^{2}}}

ekvivalens alakban

H n ( x ) = e x 2 / 2 ( x − d d x ) n e − x 2 / 2 {\displaystyle H_{n}(x)=e^{x^{2}/2}\,\left(x-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {dx} }}\right)^{n}\,e^{-x^{2}/2}}

Explicit alak

Az Hermite-polinomok explicit alakban is megadhatók Faà di Bruno képlete szerint:

H n ( x ) = ( − 1 ) n ∑ k 1 + 2 k 2 = n n ! k 1 ! k 2 ! ( − 1 ) k 1 + k 2 ( 2 x ) k 1 {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}\sum _{k_{1}+2k_{2}=n}{\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!}}(-1)^{k_{1}+k_{2}}(2x)^{k_{1}}}

Az első néhány Hermite-polinom

H 0 ( x ) = 1 {\displaystyle H_{0}(x)=1}
H 1 ( x ) = 2 x {\displaystyle H_{1}(x)=2x}
H 2 ( x ) = ( 2 x ) 2 − 2 = 4 x 2 − 2 {\displaystyle H_{2}(x)=(2x)^{2}-2=4x^{2}-2}
H 3 ( x ) = ( 2 x ) 3 − 6 ( 2 x ) = 8 x 3 − 12 x {\displaystyle H_{3}(x)=(2x)^{3}-6(2x)=8x^{3}-12x}
H 4 ( x ) = ( 2 x ) 4 − 12 ( 2 x ) 2 + 12 = 16 x 4 − 48 x 2 + 12 {\displaystyle H_{4}(x)=(2x)^{4}-12(2x)^{2}+12=16x^{4}-48x^{2}+12}

Rekurziós formula

Az Hermite-polinomok a következő rekurzióval számíthatók:

H n + 1 ( x ) = 2 x H n ( x ) − 2 n H n − 1 ( x ) {\displaystyle \qquad H_{n+1}(x)=2\,x\,H_{n}(x)-2\,n\,H_{n-1}(x)}
H n ′ ( x ) = 2 n H n − 1 ( x ) {\displaystyle \qquad H_{n}'(x)=2\,n\,H_{n-1}(x)}

Tulajdonságok

Mivel minden iterációs lépésben x {\displaystyle x} -szel vett szorzat szerepel, azért látszik, hogy H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)} n-edfokú, és főegyütthatója 2 n {\displaystyle 2^{n}} . Páros n-re H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)} páros függvény, páratlan n-re páratlan. Vagyis

H n ( − x ) = ( − 1 ) n ⋅ H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}\cdot H_{n}(x)}

Egy másik lehetőség a definícióra:

H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 / 2 d n d x n e − x 2 / 2 . {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}e^{-x^{2}/2}.}

Az Hermite-polinomok kielégítik a következő differenciálegyenletet:

y ″ + x y ′ + n y = 0. {\displaystyle y''+x\,y'+n\,y=0.}

Rekurziós formula:

H n + 1 ( x ) = x H n ( x ) − n H n − 1 ( x ) {\displaystyle H_{n+1}(x)=x\,H_{n}(x)-n\,H_{n-1}(x)}

Ortogonális rendszer

Az Hermite-polinomok teljesítik ezt az ortogonalitási relációt:

∫ − ∞ + ∞ e − x 2 ⋅ H n ( x ) ⋅ H m ( x ) d x = 2 n ⋅ n ! ⋅ π ⋅ δ n m . {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\cdot H_{n}(x)\cdot H_{m}(x)\,dx=2^{n}\cdot n!\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \delta _{nm}.}

Ez azt jelenti, hogy bizonyos valós függvények sorba fejthetők az Hermite-polinomok szerint.

Alkalmazás

Az Hermite-polinomok sokoldalú fizikai alkalmazásaik által válnak jelentőssé. Példa: a kvantummechanikai harmonikus oszcillátor ortonormált megoldásfüggvényeinek előállítása. Ezek az Hermite-függvények, amik a normális eloszlás eloszlásfüggvényével szorozva és megfelelően normálva kaphatók az Hermite-polinomokból.

Források

  • I.N. Bronstein u.A.: Taschenbuch der Mathematik 5. kiadás. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, Thun, 2001 ISBN 3-8171-2005-2
  • Milton Abramowitz és Irene Stegun: Pocketbook of Mathematical Functions
  • Murray R. Spiegel, Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler McGraw-Hill
  • Eric W. Weisstein. „Hermite Polynomial.“ From MathWorld -A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html
  • A Bad Saulgau tanulói kutatóközpont jegyzete