A geometriai eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás független Bernoulli-kísérletek esetére. Két változata létezik:
- A változat
- A siker eléréséhez szükséges Bernoulli-kísérletek
számának a valószínűségi eloszlása. Ez az eloszlás a
halmazon értelmezett.
- B változat
- A siker előtti sikertelen kísérletek
számának az eloszlása. Ez az eloszlás a
halmazon értelmezett.
A két változat összefüggése
.
A geometriai eloszlás felhasználható:
- egy megadott esemény előtti várakozási idők elemzésénél például a készülékek és alkatrészek élettartamának meghatározása = a várakozási idő az első meghibásodásig
- a gyakori események számának meghatározása két egymástól független ritka esemény között; alkalmazási területek például a készülékek megbízhatóságának vizsgálata, biztosítási matematika, adatátvitel hibaarányának meghatározása
Meghatározás
Egy kísérlet két lehetséges kimenetele közül egy adott esemény bekövetkezésének valószínűségét jelöljük
-vel. Ekkor az ellentett esemény valószínűsége
.
Akkor beszélünk geometriai eloszlásról, ha
- A változat
- annak a valószínűsége, hogy az első sikerhez pontosan
kísérletre van szükség, ![{\displaystyle \operatorname {P} (X=n)=p(1-p)^{n-1}=pq^{n-1}\quad (n=1,2,\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/540f6afac8e3f9f9b5c36dee8f41a5cf0f2beced)
- B változat
- annak a valószínűsége, hogy az első siker előtt pontosan
sikertelen kísérlet legyen ![{\displaystyle \operatorname {P} (Y=n)=p(1-p)^{n}=pq^{n}\quad (n=0,1,2,\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb9ece1ba3805edb7e60f492e426afb95f18948)
A geometriai eloszlást jellemző számok
Várható értéke:
A változat:
![{\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee8e1f4ebf69b7a18235095f6615b3cb26a88b3)
B változat:
.
Szórása:
Mindkét változat szórása:
.
Ferdesége:
.
Lapultsága:
.
Tulajdonságok
- A geometriai eloszlás örökifjú, azaz a várt esemény valószínűsége nem függ az addig eltelt várakozási időtől, és ez az egyetlen ilyen diszkrét eloszlás.
A változat:
![{\displaystyle \operatorname {P} (X=n+k\,|\,X>n)=\operatorname {P} (X=k)\quad n,k=1,2,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b049c1eeff4c933cac793f932052eefc19970b7)
B változat:
![{\displaystyle \operatorname {P} (Y=n+k\,|\,Y\geq n)=\operatorname {P} (Y=k)\quad n,k=0,1,2,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79539c4ea2bcaad28b90cfe09955dee24495cc74)
- A geometrikus eloszlás nem stabil, vagyis, ha U, V geometriai eloszlású valószínűségi változók, akkor
nem biztos, hogy újra geometrikus eloszlású lesz. A centrális határeloszlás-tétel miatt az egyetlen véges szórású stabil eloszláscsalád a normális eloszlások családja. - Az
független geometrikus eloszlású valószínűségi változók összege
![{\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}X_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54885e689688c6244466e9293c6919906c9751df)
amennyiben mindegyiknek ugyanaz a p a paramétere, negatív binomiális eloszlású.
- A geometriai eloszlások karakterisztikus függvényei:
A változat:
.
B változat:
.
A változat:
![{\displaystyle m_{X}(s)={\frac {pe^{s}}{1-(1-p)e^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed8f83f339a362d6654919a80b76e42057cc1dd1)
B változat:
.
Kapcsolat más eloszlásokkal
Negatív binomiális eloszlás
A negatív binomiális eloszlás a geometrikus eloszlás általánosítása több sikeres kísérletre. Ezt kétféleképpen fogalmazzák be: vagy az r-edik sikeres kísérletre várnak, vagy azt emelik ki, hogy az r-edik sikeres kísérletre n próbálkozásra volt szükség.
A geometrikus eloszlás éppen az r=1 paraméterhez tartozó negatív binomiális eloszlás.
Exponenciális eloszlás
Legyenek az
geometrikus valószínűségi változók paraméterei
, és legyen
egy pozitív λ konstansra. Ekkor a
sorozat tart egy λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változóhoz.
A folytonos exponenciális eloszlás a diszkrét geometriai eloszláshoz hasonlóan egy ritka, Poisson-eloszlású eseményre vár. Az exponenciális eloszlás így a geometriai eloszlás folytonos analógja.
Levezetések
A várható érték levezetése
A geometriai eloszlás várható értéke többféleképpen is kiszámítható:
.
![{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{k=1}^{\infty }kp(1-p)^{k-1}=\sum _{k=0}^{\infty }(k+1)p(1-p)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }kp(1-p)^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }p(1-p)^{k-1}=(1-p)\operatorname {E} (X)+1\Rightarrow \operatorname {E} (X)={\frac {1}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66981c05354a7100cec73325467c109a9f4bf551)
ahol
, mivel az eloszlásfüggvény
.
- Az
várható érték az örökifjú tulajdonság miatt esetszétválasztással is számítható. p valószínűséggel az első esemény sikeres lesz, ezzel X=1 valósul meg, különben X>1 lesz 1-p valószínűséggel. Az örökifjú tulajdonság miatt a szükséges kísérletek száma megint
. Ezzel :
, tehát
. - n kísérletből várhatóan
lesz sikeres. Így a két sikeres kísérlet közötti várakozási idő
, vagyis
.
A szórás levezetése
A szórás helyett célszerűbb a szórásnégyzettel számolni.
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| . |
Források
- A geometriai eloszlás a MathWorldön
- A geometriai eloszlás a PlanetMathen
- Geometriai eloszlás kalkulátor
| Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle! |
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap