Görbe vonalú koordináta-rendszer

A görbe vonalú koordináta-rendszerek az ${\displaystyle E^{n}}$ euklideszi tér koordináta-rendszerei, melynek koordinátavonalai diffeomorfak a Descartes-féle koordináta-rendszer koordinátavonalaival.^[1] Ez azt jelenti, hogy a megfeleltetés lokálisan egy-egyértelmű, és a megfeleltetés, valamint az inverz megfeleltetés is differenciálható. Tehát nem lehet például szakadás vagy töréspont a koordináta-vonalakon.

A leggyakrabban alkalmazott görbe vonalú koordináta-rendszerek:

• a Descartes-féle koordináta-rendszer
• a polárkoordináta-rendszer
• a hengerkoordináta-rendszer
• a gömbkoordináták

A szóban forgó feladattól függően egy megfelelően választott görbe vonalú koordináta-rendszerben a számítások egyszerűbbek lehetnek, mint a Descartes-koordináta-rendszerben. Például a sugaras szimmetriájú feladatokhoz célszerűbb lehet a gömbkoordináták választása.

A következők elsősorban a háromdimenziós térre vonatkoztathatók, ám nagy részük általánosítható más dimenziókra is.

A Descartes-koordináták transzformációja

Egy ${\displaystyle n}$-dimenziós tér egy pontjának koordinátái egy valós számokból álló ${\displaystyle n}$-es, amely a pontot a koordináta-rendszer erejéig határozza meg.

A Descartes-féle koordináta-rendszerben az ${\displaystyle x_{i}}$ koordináták felírhatók az új ${\displaystyle u_{i}}$ koordináták folytonosan differenciálható függvényeként:

${\displaystyle x_{1}=x_{1}\left(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\right)\ }$,     ${\displaystyle x_{2}=x_{2}\left(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\right)\ }$,   …   ${\displaystyle x_{n}=x_{n}\left(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\right)}$

Ez egy egyenletrendszer, ami invertálható, tehát megoldható az ${\displaystyle u_{i}}$ koordinátákra:

${\displaystyle u_{1}=u_{1}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\ }$,     ${\displaystyle u_{2}=u_{2}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\ }$,   …   ${\displaystyle u_{n}=u_{n}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$

ha az inverz funkcionáldetermináns nem nulla vagy végtelen:

${\displaystyle \det \left({\underline {\underline {J}}}^{-1}\right)=\det {\frac {\partial (u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})}{\partial (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}}\neq 0}$.

Az inverz transzformációnak is folytonosan differenciálhatónak kell lennie.

A transzformáció reguláris azokban a pontokban, melyeknek egyértelmű a megfeleltetése. A többi pontban szinguláris. Ekkor teljesül, hogy ha egy ${\displaystyle P}$ pont adott az ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ Descartes-koordinátákkal, akkor az inverz transzformációkkal egyértelműen kiszámíthatók a ${\displaystyle P}$ pont ${\displaystyle (u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})}$ görbe vonalú koordinátái. A tér minden reguláris pontja egyértelműen leírható az ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ Descartes-koordinátákkal és ekvivalensen, az ${\displaystyle \{u_{i}\}}$ görbe vonalú koordinátákkal.

Egy transzformációegyenletekre vonatkozó tétel szerint a fent leírtak alapján a Descartes-féle koordináta-rendszerrel együtt definiálható egy görbe vonalú koordináta-rendszer.

Koordinátavonalak, -felületek és tengelyek

Ebben a szakaszban a háromdimenziós térben szemléltetjük a koordinátavonalakat, -felületeket és tengelyeket.

A koordinátafelületek megkaphatók egy koordináta rögzítésével és a többi változtatásával:

${\displaystyle {\vec {r}}_{ij}(\alpha ,\beta )={\vec {r}}\,(u_{i}=\alpha ,u_{j}=\beta ,u_{k}={\text{const}})}$   ahol   ${\displaystyle i\neq j\neq k\neq i}$

Minden nem szinguláris ponton át az ${\displaystyle u_{k}={\text{const}}}$ felületsereg egy tagja halad át.

A koordinátavonalak úgy kaphatók, hogy két koordinátát rögzítünk, azaz ${\displaystyle u_{i}={\text{const}},\ u_{j}={\text{const}}}$ ahol ${\displaystyle i\neq j}$, és a harmadik koordináta fut:

${\displaystyle {\vec {r}}_{k}(\gamma )={\vec {r}}\,(u_{i}={\text{const}},u_{j}={\text{const}},u_{k}=\gamma )}$   ahol   ${\displaystyle i\neq j\neq k\neq i}$

A fenti feltétel azt jelenti a funkcionáldetermináns számára, hogy a háromdimenziós tér minden pontján át három koordinátavonalnak kell áthaladnia, különben a pont nem reguláris.

Például a gömbkoordináták esetén a ${\displaystyle z}$-tengely pontjaiban az összes ${\displaystyle \varphi ={\text{const}}}$ sík metszi egymást (ahol ${\displaystyle \varphi }$ az azimut). Így a ${\displaystyle z}$-tengely pontjainak koordinátái nem egyértelműek: ${\displaystyle z=r\cos \vartheta }$, de ${\displaystyle \phi }$ tetszőleges.

Ha a különböző koordinátavonalak derékszögben metszik egymást, akkor a koordináta-rendszer ortogonális.

A koordinátatengelyeket a koordinátavonalak érintőiként definiáljuk. Ez a Descartes-féle koordináta-rendszertől és az affin koordináta-rendszerektől különböző koordináta-rendszerekben azt jelenti, hogy a tengelyek függnek a helytől. Emiatt helyi koordinátákról beszélünk.

Különböző bázisok

Egy vektor koordinátákkal való ábrázolásához bázisra van szükség. Ehhez egy ${\displaystyle n}$-dimenziós térben ${\displaystyle n}$ független vektorra van szükség. Egy ilyen bázissal a tér bármely vektora előállítható lineáris kombinációként, ahol is a kombináció együtthatói a vektor koordinátái.

Csak egyenesvonalú esetben állandóak a bázisvektorok; valóban görbe vonalú koordináta-rendszer esetén a bázis, így a koordináták is függenek a helytől. Emiatt ezeket a bázisokat helyi bázisoknak nevezik. Mind a bázisvektorok, mind a koordináták helyfüggők. Egyenes vonalú koordináta-rendszerekben a bázis globális, azaz nem függ a helytől. A helytől kizárólag a koordináták függnek.

Helyi bázis előállítására két módszer létezik:

• kovariáns bázis
• kontravariáns bázis

A két bázis reciprok, illetve duális egymással. Holonóm bázisoknak is nevezik őket. Különböznek abban, hogyan transzformálódnak koordinátaváltáskor – a két transzformáció inverze egymásnak.

Az adott sokaság minden pontjában egyidejűleg létezik mindkét bázis. Így egy tetszőleges vektor ábrázolható egyikben vagy másikban. Az ${\displaystyle a_{u_{i}}}$ kontravariáns koordinátákat kombinálják a kovariáns ${\displaystyle {\vec {b}}_{u_{i}}}$ bázisvektorokkal, és az ${\displaystyle a_{u_{i}}^{\,*}}$ kovariáns koordinátákat a kontravariáns ${\displaystyle {\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}}$ bázisvektorokkal.

${\displaystyle {\vec {a}}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}{\vec {b}}_{u_{i}}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}}$

Ez a keresztbe párosítás biztosítja, hogy ${\displaystyle {\vec {a}}}$ vektor a koordinátatranszformáció során invariáns maradjon, mivel a bázis és a koordináták inverz módon transzformálódnak, így kölcsönösen kiegyenlítik egymást. A fizikában a vektorok ezen tulajdonsága alapvető, mivel a fizika törvényeinek a koordináta-rendszer választásától függetlennek kell lenniük. Ilyen például egy részecske sebessége.

Egy vektor (koordinátavektor) kontravariáns, ha a koordináták kontravariánsak, és a bázis kovariáns. Egy vektor (koordinátavektor) kovariáns, ha a koordináták kovariánsak, és a bázis kontravariáns.

Kovariáns bázis

A kovariáns bázis vektorai minden pontban érintőlegesek valamelyik koordinátavonalhoz.

Normált és természetes bázis

A koordinátavonalak érintő-egységvektorai bázist alkotnak, ami kovariáns bázisvektorokból áll:

${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}={\frac {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{i}}}{\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{i}}}\right|}}}$

Ezek az egységvektorok a helytől függően fordulnak ${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}={\vec {e}}_{u_{i}}\left(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\right)}$ irányba.

A ${\displaystyle h_{u_{i}}}$ skálázási tényezők definíciója:

${\displaystyle h_{u_{i}}:=\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{i}}}\right|}$,   így ${\displaystyle \displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}={\frac {1}{h_{u_{i}}}}{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{i}}}}$

A nem normált vektorok alkotják a természetes bázist, amiből a normálással a normált bázis nyerhető. Itt a természetes bázis vektorait ${\displaystyle {\vec {b}}_{u_{i}}}$ jelöli, a normált bázis vektorait pedig ${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}}$.

${\displaystyle {\vec {b}}_{u_{i}}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{i}}}=h_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}}$

Kontravariáns koordináták

Az új bázisokkal az összes ${\displaystyle {\vec {a}}}$ vektor kifejezhető a normált kovariáns ${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}}$ bázisban, illetve a ${\displaystyle {\vec {b}}_{u_{i}}}$ természetes bázisban:

${\displaystyle {\vec {a}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{a_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{{\tilde {a}}_{u_{i}}{\vec {b}}_{u_{i}}}\quad {\text{ahol}}\quad {\tilde {a}}_{u_{i}}={\frac {a_{u_{i}}}{h_{u_{i}}}},\quad {\vec {b}}_{u_{i}}=h_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}}$

ahol ${\displaystyle a_{u_{i}}}$ illetve ${\displaystyle {\tilde {a}}_{u_{i}}}$ kontravariáns koordináták, melyek iránya az ${\displaystyle u_{i}}$-koordinátavonal felé mutat; ${\displaystyle a_{u_{i}}}$ a normált, ${\displaystyle {\tilde {a}}_{u_{i}}}$ a természetes bázisban. A tenzoranalízisben a ${\displaystyle {\tilde {a}}_{u_{i}}}$ koordinátákat felső ${\displaystyle a^{i}}$ indexszel jelölik. Ez nem hatványozást jelent.

Egy ${\displaystyle {a_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}}={{\tilde {a}}_{u_{i}}{\vec {b}}_{u_{i}}}}$ vektorkoordináta hossza megfelel a normált bázisban a ${\displaystyle a_{u_{i}}}$ koordináta abszolútértékének, a természetes bázisban pedig az ${\displaystyle {\tilde {a}}_{u_{i}}}$ koordináta abszolútértékének és a ${\displaystyle {\vec {b}}_{u_{i}}}$ vektorhossz szorzatának:

${\displaystyle |a_{u_{i}}|=|a_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}|=|{\tilde {a}}_{u_{i}}{\vec {b}}_{u_{i}}|=|{\tilde {a}}_{u_{i}}|\,|{\vec {b}}_{u_{i}}|=|{\tilde {a}}_{u_{i}}|\,|h_{u_{i}}|}$

Ha a vektor fizikai mennyiséget jelöl, akkor a természetes bázis hossza tartalmazhat mértékegységet is, ami így összeszorzódik a koordinátákkal. Ez körülményes lehet. Normált bázis esetén azonban a mértékegység teljes egészében a koordinátán múlik. Ezért az ${\displaystyle a_{u_{i}}}$ koordináták fizikai koordináták, és a normált ${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}}$ bázisvektorok fizikai bázisvektorok.

Megkülönböztetésként az ${\displaystyle {\tilde {a}}_{u_{i}}}$ koordináták holonóm koordináták, és a természetes ${\displaystyle {\vec {b}}_{u_{i}}}$ bázisvektorok holonóm bázisvektorok.

A bázisvektorok és koordináták viselkedése a transzformáció során, Jacobi-mátrix

A természetes bázisvektorok definíciójából következően az ${\displaystyle \{u_{i}\}}$ koordináták transzformációja ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ koordinátákká adódik a képlet:

${\displaystyle {\vec {b}}_{u_{k}}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{k}}}=\sum _{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x_{j}}}=\sum _{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{k}}}{\vec {e}}_{x_{j}}}$

A természetes bázisvektorok egyszerűen viselkednek a transzformáció során. Normált bázis esetén a ${\displaystyle h_{u_{i}}}$ skálázási tényezőkkel is számolni kell:

${\displaystyle {\vec {b}}_{u_{k}}=\sum _{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{k}}}{\vec {e}}_{x_{j}}\quad \Longrightarrow \quad h_{u_{k}}{\vec {e}}_{u_{k}}=\sum _{j}{\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{k}}}{\vec {e}}_{x_{j}}}$

Egy tetszőleges ${\displaystyle {\vec {a}}}$ vektor kifejezhető mjnd a régi, mind az új bázisban:

${\displaystyle {\vec {a}}=\sum _{i}a_{x_{i}}{\vec {e}}_{x_{i}}=\sum _{i,k}a_{x_{i}}\delta _{ik}{\vec {e}}_{x_{k}}=\sum _{i,j,k}a_{x_{i}}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial u_{j}}}{\vec {e}}_{x_{k}}=\sum _{i,j}a_{x_{i}}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}{\vec {b}}_{u_{j}}=\sum _{j}{\tilde {a}}_{u_{j}}{\vec {b}}_{u_{j}}}$

Így kapható a koordináták viselkedése a transzformáció során:

${\displaystyle {\tilde {a}}_{u_{i}}=\sum _{j}a_{x_{j}}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\quad \Longrightarrow \quad {\frac {a_{u_{i}}}{h_{u_{i}}}}=\sum _{j}a_{x_{j}}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}}$

Míg a kovariáns vektorok esetén a ${\displaystyle J_{kj}={\tfrac {\partial x_{j}}{\partial u_{k}}}}$ Jacobi-mátrixszal végezhető, a kontravariáns koordináták transzformációjához a Jacobi-mátrix ${\displaystyle J_{kj}^{-1}={\tfrac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}}$ inverzét kell alkalmazni.

A tenzoranalízisben a vektorok viselkedését a fenti transzformációs viselkedéssel definiálják. Maga a ${\displaystyle {\vec {r}}}$ helyvektor nem vektor, de a ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} {\vec {r}}=\sum _{i}{\vec {b}}_{u_{i}}\mathrm {d} u_{i}}$ helyvektor-differenciál már igen.

A Descartes-féle koordináták transzformációjának Jacobi-mátrixa megegyezik azzal a mátrixszal, melyben a természetes bázis oszlopvektorokként szerepel:

${\displaystyle {\underline {\underline {J}}}={\frac {\partial (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}{\partial (u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})}}=\left({\begin{array}{cccc}\partial x_{1}/\partial u_{1}&\partial x_{1}/\partial u_{2}&\ldots &\partial x_{1}/\partial u_{n}\\\partial x_{2}/\partial u_{1}&\partial x_{2}/\partial u_{2}&\ldots &\partial x_{2}/\partial u_{n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\partial x_{n}/\partial u_{1}&\partial x_{n}/\partial u_{2}&\ldots &\partial x_{n}/\partial u_{n}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cccc}|&|&&|\\{\vec {b}}_{u_{1}}&{\vec {b}}_{u_{2}}&\ldots &{\vec {b}}_{u_{n}}\\|&|&&|\end{array}}\right)\equiv [{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]}$

Az inverz funkcionáldeterminánsra vonatkozó ${\displaystyle \det \left({\underline {\underline {J}}}^{-1}\right)\neq 0}$ feltétel a következő kapcsolattal jellemezhető:

${\displaystyle {\vec {e}}_{x_{k}}=\sum _{j}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}{\vec {b}}_{u_{j}}=\sum _{j}(J^{-1})_{kj}{\vec {b}}_{u_{j}}}$

Ez megfelel az ${\displaystyle {\vec {b}}={\underline {\underline {A}}}{\vec {v}}}$ inhomogén lineáris egyenletrendszernek a ${\displaystyle {\vec {v}}}$-re. A ${\displaystyle {\vec {v}}}$ koordinátái tartalmazzák a ${\displaystyle \{{\vec {b}}_{u_{j}}\}}$ görbe vonalú bázisvektorok koordinátáit. Az egyenletrendszer csak akkor oldható meg egyértelműen, ha a ${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}}$ mátrix magja nulladimenziós, azaz az oszlop- illetve sorvektorok lineárisan függetlenek. Ez ekvivalens azzal, hogy a ${\displaystyle \det {\underline {\underline {A}}}}$ mátrix determinánsa nullától különbözik. Ez egyértelműen meghatározza az ismeretleneket, azaz minden ponthoz egy, és csak egy ${\displaystyle \{{\vec {b}}_{u_{j}}\}}$ bázis létezik.

A duális ${\displaystyle \{{\vec {b}}_{u_{i}}^{*}\}}$ bázis hasonlóan megfeleltethető a fenti mátrix inverzének.

Metrikus tenzor és Gram-determináns

A természetes bázisvektorok skalárszorzatai definiálják a ${\displaystyle g}$ metrikus tenzor komponenseit:

${\displaystyle g_{ij}={\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}=h_{u_{i}}h_{u_{j}}{\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}=h_{u_{i}}h_{u_{j}}\cos \!\left(\sphericalangle ({\vec {e}}_{u_{i}},{\vec {e}}_{u_{j}})\right)}$

Vegyük észre, hogy a metrikus tenzor a skaláris szorzás kommutativitás miatt szimmetrikus:

${\displaystyle g_{ij}={\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}={\vec {b}}_{u_{j}}\cdot {\vec {b}}_{u_{i}}=g_{ji}}$

Emiatt a metrikus tenzornak ${\displaystyle N(N+1)/2}$ független komponense van, és nem ${\displaystyle N^{2}}$. Három dimenzióban a független elemek száma 6.

A metrikus tenzor írható, mint a Jacobi-mátrix és transzponáltjának szorzata:

${\displaystyle {\underline {\underline {g}}}={\underline {\underline {J}}}^{T}{\underline {\underline {J}}}=[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]^{T}[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]=\left({\begin{array}{ccc}{\vec {b}}_{u_{1}}\cdot {\vec {b}}_{u_{1}}&\ldots &{\vec {b}}_{u_{1}}\cdot {\vec {b}}_{u_{n}}\\\vdots &&\vdots \\{\vec {b}}_{u_{n}}\cdot {\vec {b}}_{u_{1}}&\ldots &{\vec {b}}_{u_{n}}\cdot {\vec {b}}_{u_{n}}\end{array}}\right)}$

A ${\displaystyle g_{ij}}$ mennyiségek metrikus együtthatók, melyek segítségével kiszámítható egy vektor hossza a ${\displaystyle \{{\tilde {a}}_{u_{i}}\}}$ kontravariáns koordinátákból. Ehhez kellenek a skálázási tényezők.

A ${\displaystyle h_{u_{i}}}$ skálázási tényezőket a ${\displaystyle g_{ii}}$ átlós elemek adják meg, mivel ${\displaystyle |{\vec {b}}_{u_{i}}|={\sqrt {{\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{i}}}}}$:

${\displaystyle h_{u_{i}}={\sqrt {g_{ii}}}}$

A metrikus tenzor determinánsa a ${\displaystyle g}$ Gram-determináns:

${\displaystyle \det {\underline {\underline {g}}}=g}$

${\displaystyle g=\det(J^{T}J)=\det J^{T}\det J=(\det J)^{2}}$ következménye, hogy a Jacobi-mátrix determinánsa abszolútértékének meg kell egyeznie a Gram-determináns négyzetgyökével. Másként,

${\displaystyle \det[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]\equiv \det J=\pm {\sqrt {g}}}$,

ahol az előjel a bázis irányításától függ. A normált bázisvektorokból alkotott determináns a multilinearitás miatt adja, hogy:

${\displaystyle \det[{\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {e}}_{u_{n}}]=\det[h_{u_{1}}^{-1}{\vec {b}}_{u_{1}},h_{u_{2}}^{-1}{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,h_{u_{n}}^{-1}{\vec {b}}_{u_{n}}]={\frac {\det[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}\cdots h_{u_{n}}}}={\frac {\pm {\sqrt {g}}}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}\cdots h_{u_{n}}}}}$

A metrikus tenzor ${\displaystyle g^{ij}}$ inverzére teljesül a Cramer-szabály miatt, hogy:

${\displaystyle g^{ij}:=(g^{-1})_{ij}={\frac {A^{ij}}{g}}}$

ahol ${\displaystyle A^{ij}}$ az adjungált és ${\displaystyle g}$ a Gram-determináns. A kifejtési tételből következik, hogy:

${\displaystyle g:=\det {\underline {\underline {g}}}=\sum _{i,j}g_{ij}A^{ji}\quad \Longrightarrow \quad {\frac {\partial g}{\partial g_{ij}}}=A^{ji}}$

és az inverz metrikus tenzorra:

${\displaystyle g^{ij}={\frac {1}{g}}{\frac {\partial g}{\partial g_{ji}}}}$

Ortogonális koordináta-rendszerek

Ha az ${\displaystyle n}$-dimenziós térben minden nem szinguláris pontban az ${\displaystyle n}$ koordinátavonal mindegyike merőlegesen metszi egymást, akkor a koordináta-rendszer ortogonális. Ekkor az ${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}}$ vektorok az ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ tér ortonormált bázist alkotnak:

${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}=\delta _{ij}}$,   ${\displaystyle i,j=1,2,\ldots ,n}$   (${\displaystyle \delta :\ }$Kronecker-delta)

A természetes bázisvektorokra:

${\displaystyle g_{ij}={\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}=h_{u_{i}}h_{u_{j}}\delta _{ij}=h_{u_{i}}^{2}\delta _{ij}}$

Így az ortogonális bázisvektorok esetén a metrikus tenzor diagonális:

${\displaystyle {\underline {\underline {g}}}=\left({\begin{array}{cccc}h_{u_{1}}^{2}&0&\ldots &0\\0&h_{u_{2}}^{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\ldots &h_{u_{3}}^{2}\end{array}}\right)}$

Az inverz metrikus tenzor ortognális koordináták esetén:

${\displaystyle (g^{-1})_{ij}\equiv g^{ij}=h_{u_{i}}^{-2}\delta _{ij}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {g}}}^{-1}=\left({\begin{array}{cccc}1/h_{u_{1}}^{2}&0&\ldots &0\\0&1/h_{u_{2}}^{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\ldots &1/h_{u_{n}}^{2}\end{array}}\right)}$

A Gram-determináns is egyszerűbb:

${\displaystyle g=h_{u_{1}}^{2}h_{u_{2}}^{2}\cdots h_{u_{n}}^{2}}$

A természetes, illetve normált bázisvektorok esetén a determináns:

${\displaystyle \det[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]={\sqrt {g}}=h_{u_{1}}h_{u_{2}}\cdots h_{u_{3}}\quad \iff \quad \det[{\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {e}}_{u_{n}}]=1}$

Háromdimenziós tér

Ha az ortonormált bázis jobbkezes, akkor teljesülnek a következők:

${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}\times {\vec {e}}_{u_{j}}=\varepsilon _{ijk}{\vec {e}}_{u_{k}}}$,   ${\displaystyle i,j,k=1,2,3}$   (${\displaystyle \varepsilon }$: Levi-Civita-szimbólum)

Bővebben:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {e}}_{u_{1}}\times {\vec {e}}_{u_{2}}&={\vec {e}}_{u_{3}}\quad &{\vec {e}}_{u_{2}}\times {\vec {e}}_{u_{3}}&={\vec {e}}_{u_{1}}\quad &{\vec {e}}_{u_{3}}\times {\vec {e}}_{u_{1}}&={\vec {e}}_{u_{2}}\\{\vec {e}}_{u_{2}}\times {\vec {e}}_{u_{1}}&=-{\vec {e}}_{u_{3}}&{\vec {e}}_{u_{3}}\times {\vec {e}}_{u_{2}}&=-{\vec {e}}_{u_{1}}&{\vec {e}}_{u_{1}}\times {\vec {e}}_{u_{3}}&=-{\vec {e}}_{u_{2}}\end{aligned}}}$

Egyenes vonalú koordináta-rendszerek

Általában a görbe vonalú koordináta-rendszerekben nincs globális bázis, mivel a koordinátavonalak nem egyenesek. Globális bázis csak abban a speciális esetben létezik, hogyha a koordinátavonalak egyenesek. Ekkor a koordinátafelületek síkok, seregeik párhuzamos síkseregeket alkotnak. Ekkor a transzformációs egyenletek így alakulnak:

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}u_{j}+b_{i}\quad \iff \quad J_{ij}\equiv {\frac {\partial x_{i}}{\partial u_{j}}}=A_{ij}}$

ahol ${\displaystyle A_{ij}}$ és ${\displaystyle b_{i}}$ konstansok. A ${\displaystyle J}$ Jacobi-mátrix megfelel az ${\displaystyle A}$ transzformációs mátrixnak. Így a ${\displaystyle {\vec {b}}_{u_{i}}}$ természetes egységvektorok alkotják az ${\displaystyle A}$ mátrix ${\displaystyle i}$-edik oszlopát.

Duális bázis: kontravariáns bázis

A kontravariőns bázisvektorok minden pontban merőlegesek a megfelelő koordinátafelületekre. Duálisak a kovariáns bázisvektorokra. Egy vektor kontravariáns komponensei megkaphatók a kontravariáns bázisvektorokra való vetítéssel.

Ortogonális koordináták

A ${\displaystyle {\vec {a}}=\sum \limits _{j=1}^{n}{a_{u_{j}}{\vec {e}}_{u_{j}}}}$ vektor ${\displaystyle a_{u_{i}}}$ kontraviariáns koordinátái egy ${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}=\delta _{ij}}$ ortonormált bázis számára megkaphatók vetítéssel:

${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {a}}=\sum \limits _{j=1}^{n}{a_{u_{j}}{\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}}=\sum \limits _{j=1}^{n}{a_{u_{j}}\delta _{ij}}=a_{u_{i}}}$

Nem derékszögű koordináta-rendszerekben egy vektor egy kovariáns koordinátája megkapható a ${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {a}}}$ vetítéssel a megfelelő kovariáns koordinátára. Ez nem a ${\displaystyle a_{u_{i}}}$ kontravariáns koordináta, mivel nem teljesül a ${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}=\delta _{ij}}$ reláció, azaz a metrikus tenzor nem diagonális. Ehhez szükség van a duális tér és a duális bázis fogalmára.

Duális tér és duális bázis

Az érintővektorok ${\displaystyle V}$ vektorterének duális ${\displaystyle V^{*}}$ tere azokból a lineáris funkcionálokból áll, amelyek a vektorokat az alattuk levő testre képezik le: ${\displaystyle f\colon \ V\rightarrow K,\ {\vec {v}}\mapsto f[{\vec {v}}]}$. A ${\displaystyle V^{*}}$ duális tér egy bázisát alkotják a ${\displaystyle V}$-hez duális bázisvektorok. A duális bázisvektorokat úgy definiálják, hogy ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}^{\,*}[{\vec {e}}_{j}]=\delta _{ij}}$.

Definiáljuk továbbá a következő bilineáris formát: ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \ V^{*}\times V\rightarrow K,\ \langle f,{\vec {v}}\rangle =f[{\vec {v}}]}$. Ez az úgynevezett duális párosítás. Így a ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}^{\,*}\in V^{\,*}}$ duális bázisvektorok hatása a ${\displaystyle {\vec {e}}_{j}\in V}$ bázisvektorokra:

${\displaystyle \langle {\vec {e}}_{i}^{\,*},{\vec {e}}_{j}\rangle =\delta _{ij}}$

Véges dimenziós ${\displaystyle V}$ tér esetén ${\displaystyle V^{*}}$ izomorf ${\displaystyle V}$-hez, azaz ${\displaystyle V\cong V^{\,*}}$. Az ${\displaystyle E^{n}}$ euklideszi térben (ami ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ skalárszorzattal ellátva) a duális párosítás azonosítható az

${\displaystyle \langle {\vec {w}}^{\,*},{\vec {v}}\rangle =\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{\,*}\,v_{i}\equiv {\vec {w}}^{\,*}\cdot {\vec {v}}={\vec {w}}{\underline {\underline {g}}}{\vec {v}}}$

skalárszorzattal, így a duális vektorok azonosíthatók vektorokként. Itt ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ és ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ illetve ${\displaystyle V^{\,*}=\mathbb {R} ^{n}}$.

Duális bázis

A duális bázist úgy definiálják, hogy a ${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{j}}}$ (kovariáns bázisvektorok) és a ${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}}$ (kontravariáns bázisvektorok, jelen esetben ${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{j}}}$ normált bázisvektorok) skaláris szorzata:

${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}=\delta _{ij}\quad {\text{ahol}}\quad {\vec {b}}_{u_{j}}=h_{u_{j}}{\vec {e}}_{u_{j}}\ ,\quad {\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}={\frac {1}{h_{u_{i}}}}{\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}}$.

legyen. Hasonlóan, a ${\displaystyle {\vec {b}}_{u_{j}}}$ természetes bázisvektorokra és ${\displaystyle {\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}}$ duális bázisvektoraikra:

${\displaystyle {\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}=\delta _{ij}}$.

A ${\displaystyle {\vec {b}}_{u_{j}}}$ természetes bázisvektorokra és ${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}}$ duális bázisvektoraikra mátrixjelöléssel:

${\displaystyle [{\vec {b}}_{u_{1}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ *},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}^{\ *}]^{T}[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]={\underline {\underline {E}}}}$

Mivel a kovariáns bázisvektorokból, mint oszlopokból alkotott Jacobi-mátrix megfelel annak, hogy ${\displaystyle {\underline {\underline {J}}}=[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}]}$, azért a kontravariáns vektorokból, mint sorvektorokból alkotott mátrixnak az inverz Jacobi-mátrixnak kell lennie:

${\displaystyle {\underline {\underline {J}}}^{-1}=[{\vec {b}}_{u_{1}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ *},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}^{\ *}]^{T}}$

Tehát a duális bázisvektorok megkaphatók a Jacobi-mátrix invertálásával.

A kontravariáns bázisvektorok Gram-determinánsa megegyezik a kovariáns bázisvektorokból alkotott mátrix determinánsának inverzével:

${\displaystyle \det[{\vec {b}}_{u_{1}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ *},\ldots ,{\vec {b}}_{u_{n}}^{\ *}]^{T}=\det(J^{-1})={\frac {1}{\det(J)}}={\frac {1}{\sqrt {g}}}}$

Kovariáns komponensek

Az új bázisban az összes ${\displaystyle {\vec {a}}}$ kifejezhető a ${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}}$ (normált), illetve a természetes ${\displaystyle {\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}}$ bázisban:

${\displaystyle {\vec {a}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{a_{u_{i}}^{\ *}{\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{{\tilde {a}}_{u_{i}}^{\ *}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}}\quad {\text{ahol}}\quad {\tilde {a}}_{u_{i}}^{\ *}=h_{u_{i}}a_{u_{i}}^{\ *},\quad {\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}={\frac {1}{h_{u_{i}}}}{\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}}$

Itt ${\displaystyle a_{u_{i}}^{\ *}}$ illetve ${\displaystyle {\tilde {a}}_{u_{i}}^{\ *}}$ kovariáns vektorkomponensek, ami a ${\displaystyle a_{u_{i}}^{\ *}}$ illetve ${\displaystyle {\tilde {a}}_{u_{i}}^{\ *}}$ koordinátafelületek normálisának irányába mutat. A tenzoranalízisben ${\displaystyle {\tilde {a}}_{u_{i}}^{\ *}}$ indexeit alsó indexbe írják.

A koordináták mint a bázivektorokra vett vetületek

Egy ${\displaystyle {\vec {a}}=\sum _{j=1}^{n}{a_{u_{j}}{\vec {e}}_{u_{j}}}}$ vektor ${\displaystyle a_{u_{i}}}$ kontravariáns koordinátáját az ${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}}$ bázisvektorra vett vetítéssel kaphatjuk; ez a kontravariáns bázis, a tenzoranalízisben felső indexet használva (${\displaystyle {\vec {e}}^{i}}$):

${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}\cdot {\vec {a}}=\sum \limits _{j=1}^{n}{a_{u_{j}}{\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}}=\sum \limits _{j=1}^{n}{a_{u_{j}}\delta _{ij}}=a_{u_{i}}}$

Ortonormális bázisvektorok esetén a ko- és kontravariáns bázisvektorok megegyezne, így a ko- és kontravariáns koordináták is.

Általában, egy tetszőleges vektor ábrázolható ko- és kontravariáns bázisban:

${\displaystyle {\vec {a}}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}{\vec {b}}_{u_{i}}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}}$

Így a kontravariáns bázis a kovariáns koordinátákkal, és a kovariáns bázis a kontravariáns koordinátákkal kombinálódik. Ez a tulajdonság megőrzi a vektorokat a koordináta-rendszer megváltoztatásakor.

Mindkét oldalt megszorozva ${\displaystyle {\vec {b}}_{u_{j}}}$-vel kapjuk, hogy:

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}\underbrace {{\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}} _{g_{ij}}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{u_{i}}^{\,*}\underbrace {{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}} _{\delta _{ij}}\quad \Rightarrow \quad a_{u_{j}}^{\,*}=\sum \limits _{i=1}^{n}g_{ij}a_{u_{i}}\quad \Rightarrow \quad a_{u_{i}}=\sum \limits _{i=1}^{n}g_{ij}^{-1}a_{u_{j}}^{\,*}}$

Így a ${\displaystyle g_{ij}={\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}}$ metrikus tenzorok és ${\displaystyle g_{ij}^{-1}={\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}^{\,*}}$ inverzük segítségével az ${\displaystyle a_{u_{i}}}$ kontravariáns koordináták átvihetők a ${\displaystyle a_{u_{j}}^{\,*}}$ kovariáns koordinátákba és vissza. A tenzorok nyelvén: az index emelhető és süllyeszthető.

Ortogonális koordináták

Ortogonális koordináta-rendszerekben egybeesnek a bázisvektorok és a duális bázisvektorok normáltjai. Ez a természetes bázisokra azt jelenti, hogy a megfelelő bázisvektorok párhuzamosak, és egy ${\displaystyle h_{u_{i}}^{2}}$ faktorszorosa az egyik a másiknak:

${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}^{\ *}={\vec {e}}_{u_{i}}\quad \iff \quad h_{u_{i}}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}={\frac {1}{h_{u_{i}}}}{\vec {b}}_{u_{i}}\equiv {\vec {e}}_{u_{i}}}$

Normált bázisok esetén a koordináták megegyeznek:

${\displaystyle a_{u_{i}}^{\ *}=a_{u_{i}}\quad \iff \quad {\frac {1}{h_{u_{i}}}}{\tilde {a}}_{u_{i}}^{\ *}=h_{u_{i}}{\tilde {a}}_{u_{i}}\equiv a_{u_{i}}}$

Három dimenzióban

Három dimenzióban a duális bázisvektorok kifejezhetők a bázisvektorok vektorszorzatát elosztva a bázisvektorok ${\displaystyle \det({\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},{\vec {e}}_{u_{3}})}$ illetve ${\displaystyle \det({\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},{\vec {b}}_{u_{3}})={\sqrt {g}}}$ vegyes szorzatával:

${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{1}}^{\,*}={\frac {{\vec {e}}_{u_{2}}\times {\vec {e}}_{u_{3}}}{\det({\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},{\vec {e}}_{u_{3}})}}\ ,\quad \quad {\vec {e}}_{u_{2}}^{\,*}={\frac {{\vec {e}}_{u_{3}}\times {\vec {e}}_{u_{1}}}{\det({\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},{\vec {e}}_{u_{3}})}}\ ,\quad \quad {\vec {e}}_{u_{3}}^{\,*}={\frac {{\vec {e}}_{u_{1}}\times {\vec {e}}_{u_{2}}}{\det({\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},{\vec {e}}_{u_{3}})}}}$

Kompaktabban, a normált bázisvektorokkal:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\vec {e}}_{u_{k}}^{\,*}={\frac {{\vec {e}}_{u_{i}}\times {\vec {e}}_{u_{j}}}{\det({\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},{\vec {e}}_{u_{3}})}}}$

és a természetes bázisvektorokkal:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\vec {b}}_{u_{k}}^{\,*}={\frac {{\vec {b}}_{u_{i}}\times {\vec {b}}_{u_{j}}}{\sqrt {g}}}}$

Míg a (kovariáns) bázisvektorok érintik a koordinátavonalakat, addig a (kontravariáns) duális bázis vektorai merőlegesek a koordinátafelületekre. Például, ha ${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{2}}}$ és ${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{3}}}$ része egy koordinátafelületnek, akkor erre az ${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{1}}^{\,*}}$ merőleges.

Megfordítva, a kontravariáns bázisvektorokkal hasonlóan kifejezhetők a kovariáns bázisvektorok. Tehát a vektorszorzatot elosztjuk a ${\displaystyle \det({\vec {b}}_{u_{1}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{3}}^{\ *})=1/{\sqrt {g}}}$ illetve ${\displaystyle \det({\vec {e}}_{u_{1}}^{\,*},{\vec {e}}_{u_{2}}^{\,*},{\vec {e}}_{u_{3}}^{\,*})}$ vegyes szorzattal:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\vec {e}}_{u_{k}}={\frac {{\vec {e}}_{u_{i}}^{\,*}\times {\vec {e}}_{u_{j}}^{\,*}}{\det({\vec {e}}_{u_{1}}^{\,*},{\vec {e}}_{u_{2}}^{\,*},{\vec {e}}_{u_{3}}^{\,*})}}=\det({\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},{\vec {e}}_{u_{3}})\,{\vec {e}}_{u_{i}}^{\,*}\times {\vec {e}}_{u_{j}}^{\,*}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\vec {b}}_{u_{k}}={\frac {{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\times {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}}{\det({\vec {b}}_{u_{1}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{3}}^{\ *})}}=\det({\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},{\vec {b}}_{u_{3}}){\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\times {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}={\sqrt {g}}\,{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\times {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}}$

Ha a kovariáns vektorok jobbsodrású bázist alkotnak, akkor a kontravariáns bázisvektorok is jobbsodratú koordináta-rendszert alkotnak. A két determináns szorzatának ugyanis egynek kell lennie.

Tenzorok

Egy ${\displaystyle n}$-fokú tenzor kifejezhető ${\displaystyle n}$- vektor tenzorszorzataként:

${\displaystyle {\vec {v}}_{1}\otimes {\vec {v}}_{2}\otimes \ldots \otimes {\vec {v}}_{n}}$

A tenzorszorzás nem kommutatív, így a vektorok sorrendje nem cserélhető fel. Az ${\displaystyle \{u_{i}\}}$ skalárok az alaptest elemei, tehát ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$, melyek koordinátatranszformáció során nem változtatnak értéket: ${\displaystyle \phi (u_{i})={\tilde {\phi }}({\tilde {u}}_{i})}$. A skalárok nulladfokú, a vektorok elsőfokú tenzorok.

A vektorok kétfélék lehetnek, ko- és kontravariáns módon ábrázolhatók, ami ${\displaystyle n}$-edfokú tenzorok számára ${\displaystyle 2^{n}}$ lehetőséget biztosít. A vektorokkal történő ábrázolással a vektorok tulajdonságait a tenzorok is öröklik. Így például metrikus tenzorokkal az indexek emelhetők és süllyeszthetők, azaz a ko- és kontravariáns ábrázolások egymásba átvihetők. Az indexek emelésével és süllyesztésével egymásból kapható tenzorok egymás asszociáltjai. A tenzorok átveszik a vektorok transzformációval szembeni viselkedését, így a kovariáns részek úgy transzformálódnak, mint a kovariáns vektorok, tehát a Jacobi-mátrixszal, és a kontravariáns részek úgy, mint a kontravariáns vektorok, tehát a Jacobi-mátrix inverzével.

Másodfokú tenzorok

Egy másodfokú tenzor négyféleképpen ábrázolható:

${\displaystyle {\underline {\underline {T}}}={\vec {v}}\otimes {\vec {w}}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}w_{u_{j}}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}^{\,*}w_{u_{j}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}w_{u_{j}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}^{\,*}w_{u_{j}}{\vec {b}}_{u_{i}}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}}$

A négy eset: (tiszta) kontravariáns, (tiszta) kovariáns, kontra-kovaráns, ko-kovariáns.

Az egységtenzor, melyet az ${\displaystyle {\underline {\underline {I}}}\cdot {\vec {v}}={\vec {v}}}$ egyenlőség definiál:

${\displaystyle {\underline {\underline {I}}}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}g_{ij}\,{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}g^{ij}\,{\vec {b}}_{u_{i}}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{i}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\vec {b}}_{u_{i}}\otimes {\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}}$

Skalárszorzat

Két vektor skalárszorzata:

${\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {w}}=\sum \limits _{i=1}^{n}v_{u_{i}}w_{u_{i}}^{\,*}=\sum \limits _{i=1}^{n}v_{u_{i}}^{\,*}w_{u_{i}}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}^{\,*}g^{ij}w_{u_{j}}^{\,*}=\sum \limits _{i,j=1}^{n}v_{u_{i}}g_{ij}w_{u_{j}}}$

Ez megfelel a ${\displaystyle {\vec {v}}\otimes {\vec {w}}}$ másodfokú tenzor kontrakciójának egy nulladfokú tenzorra.

Harmadfokú tenzorok

Egy harmadfokú tenzor nyolcféleképpen ábrázolható:

${\displaystyle {\underline {\underline {\underline {T}}}}={\vec {a}}\otimes {\vec {b}}\otimes {\vec {c}}=\sum \limits _{i,j,k=1}^{n}a_{u_{i}}b_{u_{j}}c_{u_{k}}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{k}}^{\ *}=\sum \limits _{i,j,k=1}^{n}a_{u_{i}}b_{u_{j}}c_{u_{k}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{k}}=\ldots =\sum \limits _{i,j,k=1}^{n}a_{u_{i}}^{\,*}b_{u_{j}}^{\,*}c_{u_{k}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}\otimes {\vec {b}}_{u_{k}}}$

Három dimenzióban a teljesen antiszimmetrikus tenzor adódik, mint:

Az első reláció a Descartes-féle írásmód, a következő kettő pedig a görbe vonalú tenzorverzió leírásai közül kettő.

${\displaystyle {\underline {\underline {\underline {\mathcal {E}}}}}=\sum \limits _{i,j,k=1}^{n}\epsilon _{ijk}{\vec {e}}_{x_{i}}\otimes {\vec {e}}_{x_{j}}\otimes {\vec {e}}_{x_{k}}=\sum \limits _{i,j,k=1}^{n}{\mathcal {E}}_{ijk}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *}\otimes {\vec {b}}_{u_{k}}^{\ *}=\ldots =\sum \limits _{i,j,k=1}^{n}{\mathcal {E}}^{ijk}{\vec {b}}_{u_{i}}\otimes {\vec {b}}_{u_{j}}\otimes {\vec {b}}_{u_{k}}}$

${\displaystyle \epsilon _{ijk}=\det[{\vec {e}}_{x_{i}},{\vec {e}}_{x_{j}},{\vec {e}}_{x_{k}}]\equiv \det[{\vec {e}}_{x_{i}},{\vec {e}}_{x_{j}},{\vec {e}}_{x_{k}}]\ ,\quad {\mathcal {E}}_{ijk}=\det[{\vec {b}}_{u_{i}},{\vec {b}}_{u_{j}},{\vec {b}}_{u_{k}}]={\sqrt {g}}\,\epsilon _{ijk}\ ,\quad {\mathcal {E}}^{ijk}=\det[{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{k}}^{\ *}]={\frac {1}{\sqrt {g}}}\,\epsilon ^{ijk}}$

A bázisvektorok deriváltjai

A bázisvektorok deriváltjai görbe vonalú koordináta-rendszerekben a következőképpen különböznek a Descartes-féle koordináta-rendszerekben megszokottól. Mivel általában a koordinátagörbék nem egyenesek, és a bázisvektorok függenek a helytől, a bázisvektorokat is differenciálni kell. A szorzatszabályt alkalmazva:

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {a}}}{\partial u_{k}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial \left(a_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}\right)}{\partial u_{k}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\left[{\frac {\partial a_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}{\vec {e}}_{u_{i}}+a_{u_{i}}{\frac {\partial {\vec {e}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}\right]}}$

Illetve a természetes bázisban:

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {a}}}{\partial u_{k}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial \left({\tilde {a}}_{u_{i}}{\vec {b}}_{u_{i}}\right)}{\partial u_{k}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\left[{\frac {\partial {\tilde {a}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}{\vec {b}}_{u_{i}}+{\tilde {a}}_{u_{i}}{\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}\right]}}$

Christoffel-szimbólum

Az ${\displaystyle {\vec {b}}_{u_{i}}}$ bázisvektor egy ${\displaystyle u_{k}}$ koordináta szerinti deriváltja kifejezhető a ${\displaystyle \{{\vec {b}}_{u_{j}}|j=1,2,\ldots ,n\}}$ bázisvektorok lineáris kombinációjával:

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}=\sum _{j=1}^{n}\Gamma _{ki}^{j}{\vec {b}}_{u_{j}}}$

A ${\displaystyle \Gamma _{ki}^{j}}$ együtthatók másodfajú Christoffel-szimbólumok.

${\displaystyle \Gamma _{ki}^{j}={\vec {b}}_{u_{j}}^{\,*}{\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}=\sum _{l}g^{jl}{\vec {b}}_{u_{l}}^{\,}{\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}=\sum _{l}g^{jl}\Gamma _{ki,l}=(\nabla u_{j})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}}{\partial u_{k}\partial u_{i}}}=\sum _{l}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{l}}}{\frac {\partial ^{2}x_{l}}{\partial u_{k}\partial u_{i}}}}$

A ${\displaystyle \Gamma _{ki,l}}$ mennyiségek elsőfajú Christoffel-szimbólumok. Egy természetes bázisvektor teljes differenciálja:

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {b}}_{u_{i}}=\sum _{j,k=1}^{n}\Gamma _{ki}^{j}{\vec {b}}_{u_{j}}\mathrm {d} u_{k}}$

Egy vektor deriváltja kifejezhető Christoffel-szimbólumokkal:

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {a}}}{\partial u_{k}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial {\tilde {a}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}{\vec {b}}_{u_{i}}+\sum _{j=1}^{n}{\tilde {a}}_{u_{i}}\Gamma _{ki}^{j}{\vec {b}}_{u_{j}}\right]=\sum \limits _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial {\tilde {a}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}{\tilde {a}}_{u_{j}}\Gamma _{kj}^{i}\right]{\vec {b}}_{u_{i}}}$

Itt a második egyenlőségjelnél felcseréltük az ${\displaystyle i}$ és ${\displaystyle j}$ indexeket, mivel mindkettőre összegzünk, és felbontottuk ${\displaystyle {\vec {b}}_{u_{i}}}$ zárójeleit.

Kovariáns derivált

Erre alapozható egy vektor kovariáns deriváltja:

${\displaystyle \nabla _{u_{k}}{\tilde {a}}_{u_{i}}={\frac {\partial {\tilde {a}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}{\tilde {a}}_{u_{j}}\Gamma _{kj}^{i}}$

Az első term az ${\displaystyle {\vec {a}}}$ vektormező ${\displaystyle {\tilde {a}}_{u_{i}}}$ komponensének megváltozását írja le az ${\displaystyle u_{k}}$ koordinátatengely mentén, a második a mező megváltozását, amit a koordináta-rendszer változása von magával. Egyenes vonalú koordináta-rendszerekben, ahol a metrikus tenzor konstans, a Christoffel-szimbólumok eltűnnek, és a kovariáns derivált megegyezik a parciális deriválttal.

A kovariáns derivált a sokaság geometriájának további geometriai szerkezetét tárja fel, ami lehetővé teszi különböző vektorterek és érintőterek vektorainak összehasonlítását. Így a kovariáns derivált különböző vektorterek differenciálgeometriai összefüggését állítja elő. Ez ahhoz szükséges például, hogy kiszámítsák egy ${\displaystyle {\vec {\gamma }}(t)}$ görbe görbületét. Ehhez a ${\displaystyle {\vec {\gamma }}^{\,\prime }(t+\Delta t)}$ és ${\displaystyle {\vec {\gamma }}^{\,\prime }(t)}$ vektorok differenciálhányadosát kell képezni, melyek különböző vektorterekben élnek.

A metrikus tenzorok kovariáns deriváltjának koordinátái eltűnnek: ${\displaystyle \nabla _{u_{k}}g_{ij}=\nabla _{u_{k}}g^{ij}=0}$.

A kovariáns deriválttal általánosíthatók az irány szerinti deriváltak:

${\displaystyle \nabla _{\vec {w}}{\vec {a}}=\sum _{i,k=1}^{n}\left({\tilde {w}}_{u_{k}}{\frac {\partial {\tilde {a}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}{\tilde {w}}_{u_{k}}{\tilde {a}}_{u_{j}}\Gamma _{kj}^{i}\right){\vec {b}}_{u_{i}}}$

Például ha egy görbe egy Riemann-sokaság geodetikus vonala, akkor definíció szerint két pont között a legrövidebb ${\displaystyle \gamma :\,\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n},\,t\mapsto {\vec {r}}(t)}$ összekötő vonal a sokaságon belül, ami kifejezhető az ${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}$ geodetikus differenciálegyenlettel. Ez azt jelenti, hogy az ${\displaystyle {\dot {\vec {r}}}}$ görbe sebesség-vektormezője (érintő-vektormezője) konstans a ${\displaystyle \gamma }$ görbe mentén. Ez a definíció annak felel meg, hogy ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ geodetikus vonalai egyenesek. A görbe görbülete így eltűnik, így az érintővektor deriváltja is nulla végig a görbe mentén. Lokális koordinátákkal a geodetikus differenciálegyenlet:

${\displaystyle \nabla _{\dot {\vec {r}}}{\dot {\vec {r}}}=\sum _{i,k=1}^{n}{\Biggl (}\underbrace {\frac {\mathrm {d} u_{k}}{\mathrm {d} t}} _{{\dot {u}}_{k}}{\frac {\partial {\dot {u}}_{i}}{\partial u_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}{\dot {u}}_{k}{\dot {u}}_{j}\Gamma _{kj}^{i}{\Biggr )}{\vec {b}}_{u_{i}}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\mathrm {d} {\dot {u}}_{i}}{\mathrm {d} t}}+\sum _{j,k=1}^{n}{\dot {u}}_{k}{\dot {u}}_{j}\Gamma _{kj}^{i}\right){\vec {b}}_{u_{i}}}$

A Christoffel-szimbólumok a ${\displaystyle \nabla }$ affin összefüggés koordinátái. Ha az együtthatók adottak, akkor megadtuk, hogy a sokaságban hogyan változnak pontról pontra a koordináta-rendszerek. Lehet, hogy több információnk van a térről és a benne levő differenciálható sokaságról, így tudjuk, hogy mit értünk kovariáns differenciáláson, így a Christoffel-szimbólumok meghatározhatók. Az utóbbi esetben be kell látni, hogy Riemann-sokaságról van szó, és a sokaság minden érintőtere skalárszorzat, így metrikát indukál, tehát van távolság.

Mivel a tekintetbe vett sokaságok (szemi)-Riemann-sokaságok (itt eltűnik a torziótenzor), azért a ${\displaystyle \nabla }$ összefüggés egy Levi-Civita-összefüggés, vagyis torziómentes, illetve szimmetrikus, és emellett még metrikus összefüggés is. Torziómentessége miatt az antiszimmetrizált ${\displaystyle \nabla _{\vec {w}}{\vec {a}}-\nabla _{\vec {a}}{\vec {w}}}$ irány menti derivált megegyezik a ${\displaystyle L_{\vec {w}}{\vec {a}}\equiv [{\vec {w}},{\vec {a}}]}$ Lie-deriválttal. Míg az ${\displaystyle \nabla _{\vec {w}}{\vec {a}}}$ irány menti derivált lineáris az ${\displaystyle {\vec {w}}}$ iránymezőben, azért az ${\displaystyle L_{\vec {w}}{\vec {a}}}$ Lie-derivált egy argumentumában sem lineáris.

A Christoffel-szimbólumok tulajdonságai

Schwarz tétele, illetve a ${\displaystyle \nabla }$ torziómentessége miatt a Christoffel-szimbólumok szimmetrikusak két alsó indexükben:

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{i}}}{\partial u_{j}}}={\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}}{\partial u_{j}\partial u_{i}}}={\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}}{\partial u_{i}\partial u_{j}}}={\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{j}}}{\partial u_{i}}}\quad \Longrightarrow \quad \Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}}$

Ez alapján a Christoffel-szimbólumok a ${\displaystyle g_{ij}}$ metrikus együtthatók alapján:

${\displaystyle \Gamma _{ki,l}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{il}}{\partial u_{k}}}+{\frac {\partial g_{kl}}{\partial u_{i}}}-{\frac {\partial g_{ki}}{\partial u_{l}}}\right)\quad \Longrightarrow \quad \Gamma _{ki}^{j}=\sum _{l=1}^{n}{\frac {g^{jl}}{2}}\left({\frac {\partial g_{il}}{\partial u_{k}}}+{\frac {\partial g_{kl}}{\partial u_{i}}}-{\frac {\partial g_{ki}}{\partial u_{l}}}\right)}$

Ez következik abból a relációból, hogy:

${\displaystyle {\frac {\partial g_{ij}}{\partial u_{k}}}={\frac {\partial ({\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}})}{\partial u_{k}}}={\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}+{\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{j}}}{\partial u_{k}}}=\sum _{l}\Gamma _{ik}^{l}{\vec {b}}_{u_{l}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}+\sum _{l}\Gamma _{jk}^{l}{\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{l}}=\sum _{l}\Gamma _{ik}^{l}g_{jl}+\sum _{l}\Gamma _{jk}^{l}g_{il}=\Gamma _{ik,j}+\Gamma _{jk,i}}$

és ${\displaystyle \partial _{k}g_{ij}}$ két permutációjából, azaz ${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}}$-ból és ${\displaystyle \partial _{j}g_{ki}}$-ből.

A duális bázisvektorok deriváltjára a következő összefüggést kapjuk:

${\displaystyle \Gamma _{ki}^{j}={\vec {b}}_{u_{j}}^{\,*}\cdot {\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{i}}}{\partial u_{k}}}=\underbrace {{\frac {\partial }{\partial u_{k}}}\overbrace {{\vec {b}}_{u_{j}}^{\,*}\cdot {\vec {b}}_{u_{i}}} ^{\delta _{ij}}} _{0}-{\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{j}}^{\,*}}{\partial u_{k}}}\cdot {\vec {b}}_{u_{i}}=-{\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{j}}^{\,*}}{\partial u_{k}}}\cdot {\vec {b}}_{u_{i}}\quad \Longrightarrow \quad {\frac {\partial {\vec {b}}_{u_{j}}^{\,*}}{\partial u_{k}}}=-\Gamma _{ki}^{j}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}}$

Ez alapján a kovariáns komponensek kovariáns deriváltjai:

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {a}}}{\partial u_{k}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial \left({\tilde {a}}_{u_{i}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\right)}{\partial u_{k}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial {\tilde {a}}_{u_{i}}^{\,*}}{\partial u_{k}}}-\sum _{j}{\tilde {a}}_{u_{j}}^{\,*}\Gamma _{ki}^{j}\right]{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}\quad \Longrightarrow \quad \nabla _{u_{k}}{\tilde {a}}_{u_{i}}^{\,*}={\frac {\partial {\tilde {a}}_{u_{i}}^{\,*}}{\partial u_{k}}}-\sum _{j=1}^{n}{\tilde {a}}_{u_{j}}^{\,*}\Gamma _{ki}^{j}}$

Fontos megjegyezni, hogy a Christoffel-szimbólumok három indexükkel nem írnak le harmadfokú tenzort, mivel nem mutatják a tenzoroknál megkövetelt viselkedést a transzformációkkal szemben:

${\displaystyle {\bar {\Gamma }}_{ij}^{k}:=\sum _{l,m,n}{\frac {\partial {\bar {u}}_{k}}{\partial u_{l}}}{\frac {\partial u_{m}}{\partial {\bar {u}}_{i}}}{\frac {\partial u_{n}}{\partial {\bar {u}}_{j}}}\Gamma _{mn}^{l}+\sum _{n}{\frac {\partial {\bar {u}}_{k}}{\partial u_{n}}}{\frac {\partial ^{2}u_{n}}{\partial {\bar {u}}_{i}\partial {\bar {u}}_{j}}}}$

A transzformációs formulában szereplő második tag miatt nincs szó tenzorról. Emiatt a Christoffel-szimbólumokat jelölik úgy is, hogy ne lehessen tenzornak nézni őket:

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=\left\{{\begin{array}{c}k\\ij\end{array}}\right\}\quad {\text{illetve}}\quad \Gamma _{ij,k}=\left[ij,k\right]}$

A transzformációval szembeni viselkedésről tett kijelentés általánosítható: Egy tenzor parciális deriváltjának indexe (${\displaystyle i}$) úgy transzformálódik, mint egy kovariáns index (${\displaystyle \partial _{i}A}$). Ezzel szemben egy ${\displaystyle \partial _{i}\partial _{j}A}$ második parciális derivált indexei (${\displaystyle i,j}$) közül egyik sem transzformálódik tenzorindexek módjára. Kiutat a kovariáns derivált jelent: Egy tenzorkoordináta ${\displaystyle n}$-edik kovariáns deriváltja újra tenzorkoordináta, kovariáns index módjára transzformálódik. Például ebben: ${\displaystyle \nabla _{i}\nabla _{j}A}$ ${\displaystyle i}$ és ${\displaystyle j}$ kovariáns indexek.

Görbe vonalú koordináták három dimenzióban

Vektorszorzat és alternáló tenzor

Descartes-koordinátákban a vektorszorzás az ${\displaystyle \epsilon ^{ijk}}$ Levi-Civita szimbólummal:

${\displaystyle {\vec {v}}\times {\vec {w}}=\sum _{ijk}\epsilon _{ijk}v_{j}w_{k}{\vec {e}}_{i}^{\,*}=\sum _{ijk}\epsilon ^{ijk}v_{j}^{\,*}w_{k}^{\,*}{\vec {e}}_{i}\quad {\text{ahol}}\quad \epsilon _{ijk}=\epsilon ^{ijk}=\det[{\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{j},{\vec {e}}_{k}]}$

Görbe vonalú ${\displaystyle \{u_{i}\}}$ koordináták esetén az

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{ijk}=\det[{\vec {b}}_{u_{i}},{\vec {b}}_{u_{j}},{\vec {b}}_{u_{k}}]={\sqrt {g}}\,\epsilon _{ijk}\ ,\quad {\mathcal {E}}^{ijk}=\det[{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{j}}^{\ *},{\vec {b}}_{u_{k}}^{\ *}]={\frac {1}{\sqrt {g}}}\,\epsilon ^{ijk}}$

alternáló tenzor használható:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {v}}\times {\vec {w}}&=\sum _{ijk}{\mathcal {E}}_{ijk}{\tilde {v}}_{u_{j}}{\tilde {w}}_{u_{k}}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}=\sum _{ijk}{\mathcal {E}}^{ijk}{\tilde {v}}_{u_{j}}^{\,*}{\tilde {w}}_{u_{k}}^{\,*}{\vec {b}}_{u_{i}}\\&={\sqrt {g}}\left|{\begin{matrix}{\vec {b}}_{u_{1}}^{\ *}&{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ *}&{\vec {b}}_{u_{3}}^{\ *}\\{\tilde {v}}_{u_{1}}&{\tilde {v}}_{u_{2}}&{\tilde {v}}_{u_{3}}\\{\tilde {w}}_{u_{1}}&{\tilde {w}}_{u_{2}}&{\tilde {w}}_{u_{3}}\end{matrix}}\right|={\frac {1}{\sqrt {g}}}\left|{\begin{matrix}{\vec {b}}_{u_{1}}&{\vec {b}}_{u_{2}}&{\vec {b}}_{u_{3}}\\{\tilde {v}}_{u_{1}}^{\,*}&{\tilde {v}}_{u_{2}}^{\,*}&{\tilde {v}}_{u_{3}}^{\,*}\\{\tilde {w}}_{u_{1}}^{\,*}&{\tilde {w}}_{u_{2}}^{\,*}&{\tilde {w}}_{u_{3}}^{\,*}\end{matrix}}\right|\end{aligned}}}$

Ez levezethető abból, hogy ${\displaystyle {\vec {b}}_{u_{j}}\times {\vec {b}}_{u_{k}}=\sum _{i}{\sqrt {g}}\,\epsilon _{ijk}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}}$:

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{ijk}:=\left({\vec {b}}_{u_{j}}\times {\vec {b}}_{u_{k}}\right)\cdot {\vec {b}}_{u_{i}}=\sum _{l}{\sqrt {g}}\,\epsilon _{ljk}\underbrace {{\vec {b}}_{u_{l}}^{\,*}\cdot {\vec {b}}_{u_{i}}} _{\delta _{l,i}}={\sqrt {g}}\,\epsilon _{ijk}}$

${\displaystyle {\vec {v}}\times {\vec {w}}=\sum _{jk}\left({\tilde {v}}_{u_{j}}{\vec {b}}_{u_{j}}\right)\times \left({\tilde {w}}_{u_{k}}{\vec {b}}_{u_{k}}\right)=\sum _{jk}{\tilde {v}}_{u_{j}}{\tilde {w}}_{u_{k}}\left({\vec {b}}_{u_{j}}\times {\vec {b}}_{u_{k}}\right)=\sum _{ijk}{\tilde {v}}_{u_{j}}{\tilde {w}}_{u_{k}}\underbrace {{\sqrt {g}}\,\epsilon _{ijk}} _{{\mathcal {E}}_{ijk}}{\vec {b}}_{u_{i}}^{\,*}}$

A következő számításból látható, hogy ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{ijk}}$ tenzorként viselkedik a transzformációkkal szemben. A kovariáns verzió:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {E}}_{ijk}:=\det \!\left[{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{i}}},{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{j}}},{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{k}}}\right]&=\det \!{\Biggl [}\sum _{l}{\frac {\partial x_{l}}{\partial u_{i}}}\underbrace {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x_{l}}} _{{\vec {e}}_{l}},\sum _{m}{\frac {\partial x_{m}}{\partial u_{j}}}\underbrace {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x_{m}}} _{{\vec {e}}_{m}},\sum _{n}{\frac {\partial x_{n}}{\partial u_{k}}}\underbrace {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x_{n}}} _{{\vec {e}}_{n}}{\Biggr ]}\\&=\sum _{l,m,n}{\frac {\partial x_{l}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial x_{m}}{\partial u_{j}}}{\frac {\partial x_{n}}{\partial u_{k}}}\underbrace {\det \!\left[{\vec {e}}_{l},{\vec {e}}_{m},{\vec {e}}_{n}\right]} _{\epsilon _{lmn}}\end{aligned}}}$

A vektorszorzat a normált bázisban:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {v}}\times {\vec {w}}&=\sum _{ijk}{\mathcal {E}}_{ijk}{\frac {v_{u_{j}}w_{u_{k}}{\vec {e}}_{u_{i}}^{\,*}}{h_{u_{j}}h_{u_{k}}h_{u_{i}}}}=\sum _{ijk}{\mathcal {E}}^{ijk}h_{u_{j}}v_{u_{j}}^{\,*}h_{u_{k}}w_{u_{k}}^{\,*}h_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}\\&={\sqrt {g}}\left|{\begin{matrix}h_{u_{1}}^{-1}{\vec {e}}_{u_{1}}^{\ *}&h_{u_{2}}^{-1}{\vec {e}}_{u_{2}}^{\ *}&h_{u_{3}}^{-1}{\vec {e}}_{u_{3}}^{\ *}\\h_{u_{1}}^{-1}v_{u_{1}}&h_{u_{2}}^{-1}v_{u_{2}}&h_{u_{3}}^{-1}v_{u_{3}}\\h_{u_{1}}^{-1}w_{u_{1}}&h_{u_{2}}^{-1}w_{u_{2}}&h_{u_{3}}^{-1}w_{u_{3}}\end{matrix}}\right|={\frac {1}{\sqrt {g}}}\left|{\begin{matrix}h_{u_{1}}{\vec {e}}_{u_{1}}&h_{u_{2}}{\vec {e}}_{u_{2}}&h_{u_{3}}{\vec {e}}_{u_{3}}\\h_{u_{1}}v_{u_{1}}^{\,*}&h_{u_{2}}v_{u_{2}}^{\,*}&h_{u_{3}}v_{u_{3}}^{\,*}\\h_{u_{1}}w_{u_{1}}^{\,*}&h_{u_{2}}w_{u_{2}}^{\,*}&h_{u_{3}}w_{u_{3}}^{\,*}\end{matrix}}\right|\end{aligned}}}$

Koordinátafelületek: belső geometria

Az általánosság megszorítás nélkül feltesszük, hogy az ${\displaystyle u_{3}={\text{const}}}$ koordinátafelületről van szó. A felület egy nem normált normálvektora kollineáris a ${\displaystyle {\vec {b}}_{u_{3}}^{\,*}}$ kontravariáns bázisvektorral:

${\displaystyle {\vec {n}}={\vec {b}}_{u_{1}}\times {\vec {b}}_{u_{2}}={\sqrt {g}}\,{\vec {b}}_{u_{3}}^{\,*}}$

Konvenció szerint ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$-ben egy felületet a belső geometria következő mennyiségeivel definiálhatjuk. Azért belső geometriai jellemzők, mivel megállapíthatók a felületen belül szög- és távolságméréssel (lásd első alapforma):

${\displaystyle E=\left({\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{1}}}\right)^{2}={\vec {b}}_{u_{1}}^{\ 2}=h_{u_{1}}^{2}=g_{11}}$

${\displaystyle F={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{1}}}\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{2}}}={\vec {b}}_{u_{1}}\cdot {\vec {b}}_{u_{2}}=h_{u_{1}}h_{u_{2}}{\vec {e}}_{u_{1}}\cdot {\vec {e}}_{u_{2}}=g_{12}}$

${\displaystyle G=\left({\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{2}}}\right)^{2}={\vec {b}}_{u_{2}}^{\ 2}=h_{u_{2}}^{2}=g_{22}}$

Ortogonális koordinátákban ${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}=\delta _{ij}}$, tehát ${\displaystyle F=0}$.

A felület metrikus tenzora és ennek Gram-determinánsa:

${\displaystyle {\underline {\underline {\tilde {g}}}}=\left({\begin{array}{cc}E&F\\F&G\end{array}}\right)\quad \Rightarrow \quad {\tilde {g}}=\det {\underline {\underline {\tilde {g}}}}=EG-F^{2}={\vec {b}}_{u_{1}}^{\ 2}{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ 2}-({\vec {b}}_{u_{1}}\cdot {\vec {b}}_{u_{2}})^{2}=({\vec {b}}_{u_{1}}\times {\vec {b}}_{u_{2}})^{2}}$

A felület funkcionáldeterminánsa:

${\displaystyle {\sqrt {\tilde {g}}}={\sqrt {EG-F^{2}}}=\left|{\vec {b}}_{u_{1}}\times {\vec {b}}_{u_{2}}\right|=\det \left[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},{\hat {n}}\right]}$

ahol ${\displaystyle {\hat {n}}={\vec {n}}/|{\vec {n}}|}$ a felület normált normálvektora.

Az inverz metrikus tenzor:

${\displaystyle {\underline {\underline {\tilde {g}}}}^{-1}={\frac {1}{\tilde {g}}}\left({\begin{array}{cc}G&-F\\-F&E\end{array}}\right)}$

Koordinátafelületek: Külső geometria

A következőkben a görög betűs indexek az 1,2 értékeket veszik fel, és a felület koordinátáit és bázisvektorait jelölik.

A ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle u_{\beta }}$ szerinti parciális deriváltja előállítható a ${\displaystyle {\vec {e}}_{\alpha }}$ felület bázisvektorainak lineáris kombinációjaként. Ez következik a ${\displaystyle {\hat {n}}\cdot {\hat {n}}=1}$ normálási feltételből a ${\displaystyle {\hat {n}}\cdot \partial _{\beta }{\hat {n}}=0}$ deriváltból következően. Így ${\displaystyle \partial _{\beta }{\hat {n}}}$ ortogonális az ${\displaystyle {\hat {n}}}$ felületi normálisra, ennélfogva a felületben kell lennie. Bevezetünk egy másik ${\displaystyle h}$ mennyiséget is, ami másodfokú tenzor:

${\displaystyle \partial _{\beta }{\hat {n}}=-\sum _{\alpha =1}^{2}h_{\ \beta }^{\alpha }{\vec {e}}_{\alpha }=-\sum _{\alpha =1}^{2}h_{\alpha \beta }{\vec {e}}_{\alpha }^{\ *}}$

A szakirodalom a ${\displaystyle h}$ tenzort másodfokú felülettenzornak, görbületi tenzornak vagy felülettenzornak nevezi. A ${\displaystyle h_{\alpha \beta }}$ kovariáns koordináták számítása:

${\displaystyle h_{\alpha \beta }=-{\vec {e}}_{\alpha }\cdot \partial _{\beta }{\hat {n}}=-\partial _{\beta }\underbrace {({\vec {e}}_{\alpha }\cdot {\hat {n}})} _{=0}+{\hat {n}}\cdot \partial _{\beta }{\vec {e}}_{\alpha }={\hat {n}}\cdot \partial _{\beta }{\vec {e}}_{\alpha }={\frac {1}{\sqrt {{\tilde {g}}^{\,}}}}\det \left[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},\partial _{\beta }{\vec {e}}_{\alpha }\right]}$

ahol ${\displaystyle {\hat {n}}=\left({\vec {b}}_{u_{1}}\times {\vec {b}}_{u_{2}}\right)/{\sqrt {\tilde {g}}}}$. Ez írható úgy is, mint:

${\displaystyle h_{\alpha \beta }={\hat {n}}\cdot {\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}}{\partial u_{\beta }\partial u_{\alpha }}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}{\frac {1}{\sqrt {{\tilde {g}}^{\,}}}}\epsilon _{ijk}{\frac {\partial x_{i}}{\partial u_{1}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{1}}}{\frac {\partial ^{2}x_{k}}{\partial u_{\beta }\partial u_{\alpha }}}=:\left({\begin{array}{cc}L&M\\M&N\end{array}}\right)_{\alpha \beta }}$

lásd második alapforma.

A ${\displaystyle h_{\alpha \beta }}$ értékek kapcsolatba hozhatók a másodfajú Christoffel-szimbólumokkal. A ${\displaystyle {\hat {n}}={\vec {e}}_{3}^{\ *}}$ helyettesítéssel:

${\displaystyle h_{\alpha \beta }={\hat {n}}\cdot \partial _{\beta }{\vec {e}}_{\alpha }={\hat {n}}\cdot \sum _{i=1}^{3}{\vec {e}}_{i}\Gamma _{\alpha \beta }^{i}=\sum _{i=1}^{3}\underbrace {{\vec {e}}_{3}^{\ *}\cdot {\vec {e}}_{i}} _{\delta _{i}^{3}}\Gamma _{\alpha \beta }^{i}=\Gamma _{\alpha \beta }^{3}}$

Innen a Gauß-Weingarten-egyenletek:

${\displaystyle \partial _{\beta }{\vec {e}}_{\alpha }=\sum _{\gamma =1}^{2}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }{\vec {e}}_{\gamma }+h_{\alpha \beta }{\hat {n}}\ ,\quad \partial _{\beta }{\hat {n}}=-\sum _{\gamma =1}^{2}h_{\ \beta }^{\gamma }{\vec {e}}_{\gamma }}$

A második alapforma függ a felület helyzetétől a körülvevő térben, és a görbületi számításokhoz szükséges. A ${\displaystyle h_{\ \beta }^{\alpha }}$ vegyes, kontravariáns-kovariáns tenzor segítségével:

${\displaystyle h_{\ \beta }^{\alpha }=\sum _{\gamma =1}^{2}{\tilde {g}}^{\alpha \gamma }h_{\gamma \beta }={\frac {1}{\tilde {g}}}\left({\begin{array}{cc}GL-FM&GM-FN\\-FL+EM&-FM+EN\end{array}}\right)_{\ \beta }^{\alpha }}$

a főgörbületek (${\displaystyle h_{\ \beta }^{\alpha }}$ sajátértékei), ${\displaystyle H=\operatorname {trace} \left(h_{\ \beta }^{\alpha }\right)/2}$ középgörbület és a ${\displaystyle K=\det \left(h_{\ \beta }^{\alpha }\right)}$ Gauß-görbület is számítható.

A Riemann-féle görbületi tenzor kifejezhető a ${\displaystyle R_{\ \alpha \beta \gamma }^{\nu }=h_{\ \beta }^{\nu }h_{\alpha \gamma }-h_{\ \gamma }^{\nu }h_{\alpha \beta }}$ tenzorszorzattal. További integrabilitási feltételek a ${\displaystyle \nabla _{\gamma }h_{\alpha \beta }-\nabla _{\beta }h_{\alpha \gamma }=0}$ Mainardi-Codazzi-egyenletek.

Integrációs elemek három dimenzióban

Görbeelem

Egy vektoriális ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {r}}}$ útelem vagy görbeelem kifejezhető a helyvektor teljes differenciáljaként:

${\displaystyle {\text{d}}{\vec {r}}=\sum \limits _{i=1}^{3}{{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u_{i}}}{\text{d}}u_{i}}=\sum \limits _{i=1}^{3}{{\vec {b}}_{u_{i}}{\text{d}}u_{i}}=\sum \limits _{i=1}^{3}{{\vec {e}}_{u_{i}}h_{u_{i}}{\text{d}}u_{i}}}$

Az ${\displaystyle u_{i}}$ koordinátavonalak iránya menti differenciálok azonosíthatók:

${\displaystyle \operatorname {d} {\vec {r}}_{u_{i}}={\vec {b}}_{u_{i}}\operatorname {d} u_{i}={\vec {e}}_{u_{i}}h_{u_{i}}\operatorname {d} u_{i}}$

Ügyeljünk arra, hogy ${\displaystyle \operatorname {d} {\vec {r}}_{u_{i}}}$ indexe nem jelez kovarianciát. A vektoriális útelemek segítségével ív- felület- és térfogatelemek határozhatók meg.

Ívelem

A skaláris útelem vagy hosszelem, illetve ívelem definíció szerint ${\displaystyle {\text{d}}s=|{\text{d}}{\vec {r}}\,|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{d}}s&={\sqrt {{\text{d}}{\vec {r}}\,^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{3}\operatorname {d} {\vec {r}}_{u_{i}}\cdot \operatorname {d} {\vec {r}}_{u_{i}}}}={\sqrt {\sum _{i,j=1}^{3}{\vec {b}}_{u_{i}}\cdot {\vec {b}}_{u_{j}}{\text{d}}u_{i}{\text{d}}u_{j}}}={\sqrt {\sum _{i,j=1}^{3}g_{ij}\,{\text{d}}u_{i}{\text{d}}u_{j}}}\\&={\sqrt {g_{11}\left({\text{d}}u_{1}\right)^{2}+g_{22}\left({\text{d}}u_{2}\right)^{2}+g_{33}\left({\text{d}}u_{3}\right)^{2}+2g_{12}{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}+2g_{13}{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{3}+2g_{23}{\text{d}}u_{2}{\text{d}}u_{3}}}\end{aligned}}}$

Normált bázisvektorokkal:

${\displaystyle {\text{d}}s={\sqrt {\left(h_{u_{1}}{\text{d}}u_{1}\right)^{2}+\dots +2\left({\vec {e}}_{u_{1}}\cdot {\vec {e}}_{u_{2}}\right)h_{u_{1}}h_{u_{2}}{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}+\cdots }}}$

Az ${\displaystyle {\vec {e}}_{u_{i}}\cdot {\vec {e}}_{u_{j}}=\delta _{ij}}$ ortogonális koordináták esetén:

${\displaystyle g_{ij}=h_{u_{i}}^{2}\delta _{ij}}$ és

${\displaystyle {\text{d}}s={\sqrt {\left(h_{u_{1}}{\text{d}}u_{1}\right)^{2}+\left(h_{u_{2}}{\text{d}}u_{2}\right)^{2}+\left(h_{u_{3}}{\text{d}}u_{3}\right)^{2}}}}$

Speciálisan, ha a görbe a ${\displaystyle u_{3}={\text{const}}}$ síkban fut, akkor az első alapforma:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{d}}s&={\sqrt {\left(h_{u_{1}}{\text{d}}u_{1}\right)^{2}+\left(h_{u_{2}}{\text{d}}u_{2}\right)^{2}+2\left({\vec {e}}_{u_{1}}\cdot {\vec {e}}_{u_{2}}\right)h_{u_{1}}h_{u_{2}}{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}}}\\&={\sqrt {E\left({\text{d}}u_{1}\right)^{2}+G\left({\text{d}}u_{2}\right)^{2}+2F{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}}}\end{aligned}}}$

Felszínelem

Egy koordinátafelület felszíneleme:

${\displaystyle {\text{d}}{\vec {A}}=\sum _{i=1}^{3}{\text{d}}{\vec {A}}_{i}\quad {\text{ahol}}\quad \epsilon _{ijk}{\text{d}}{\vec {A}}_{i}=\pm {\text{d}}{\vec {r}}_{u_{j}}\times {\text{d}}{\vec {r}}_{u_{k}}=\pm {\vec {b}}_{u_{j}}\times {\vec {b}}_{u_{k}}\,{\text{d}}u_{j}{\text{d}}u_{k}=\pm {\sqrt {g}}\,{\vec {b}}_{u_{i}}^{\ *}\,{\text{d}}u_{j}{\text{d}}u_{k}}$

Az előjelet az irányítás adja meg. A ${\displaystyle {\text{d}}A=|{\text{d}}{\vec {A}}|}$ mennyiséget skaláris felszínelemnek nevezik.

Az általánosság megszorítása nélkül tekinthetjük az ${\displaystyle u_{3}={\text{const}}}$ koordinátafelületet:

${\displaystyle {\text{d}}{\vec {A}}_{3}=\pm {\text{d}}{\vec {r}}_{u_{1}}\times {\text{d}}{\vec {r}}_{u_{2}}=\pm {\vec {b}}_{u_{1}}\times {\vec {b}}_{u_{2}}\,{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}=\pm {\sqrt {g}}\,{\vec {b}}_{u_{3}}^{\ *}\,{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{d}}A_{3}&=\left|{\text{d}}{\vec {A}}_{3}\right|=\left|{\vec {b}}_{u_{1}}\times {\vec {b}}_{u_{2}}\right|{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}=\left|{\sqrt {g}}\,{\vec {b}}_{u_{3}}^{\ *}\right|{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}=\left|{\vec {n}}\right|{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}\\&={\sqrt {{\vec {b}}_{u_{1}}^{\ 2}{\vec {b}}_{u_{2}}^{\ 2}-\left({\vec {b}}_{u_{1}}\cdot {\vec {b}}_{u_{2}}\right)^{2}}}{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}={\sqrt {EG-F^{2}}}\,{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}={\sqrt {\tilde {g}}}\,{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}\end{aligned}}}$

Normált bázisvektorokkal:

${\displaystyle {\text{d}}{\vec {A}}_{3}=\pm {\vec {e}}_{u_{1}}\times {\vec {e}}_{u_{2}}h_{u_{1}}h_{u_{2}}{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}}$

${\displaystyle {\text{d}}A_{3}=\left|{\vec {e}}_{u_{1}}\times {\vec {e}}_{u_{2}}\right|\left|h_{u_{1}}h_{u_{2}}\right|{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}}$

Ortogonális koordináták esetén:

${\displaystyle {\text{d}}{\vec {A}}_{3}=\pm {\vec {e}}_{u_{3}}h_{u_{1}}h_{u_{2}}{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}=\pm {\vec {e}}_{u_{3}}{\sqrt {EG}}\,{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}}$

${\displaystyle {\text{d}}A_{3}=\left|h_{u_{1}}h_{u_{2}}\right|{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}={\sqrt {EG}}\,{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}}$

Térfogatelem

A térfogatelem:

${\displaystyle {\text{d}}V=\left|{\text{d}}{\vec {r}}_{u_{1}}\cdot \left({\text{d}}{\vec {r}}_{u_{2}}\times {\text{d}}{\vec {r}}_{u_{3}}\right)\right|=\left|\det[{\text{d}}{\vec {r}}_{u_{1}},{\text{d}}{\vec {r}}_{u_{1}},{\text{d}}{\vec {r}}_{u_{3}}]\right|=\left|\det[{\vec {b}}_{u_{1}},{\vec {b}}_{u_{2}},{\vec {b}}_{u_{3}}]\right|{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}{\text{d}}u_{3}=\left|{\sqrt {g}}\right|{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}{\text{d}}u_{3}}$

ahol azonosítható a ${\displaystyle {\sqrt {g}}}$ funkcionáldetermináns abszolútértéke.

Normált bázisvektorokra:

${\displaystyle {\text{d}}V=\left|\det[{\vec {e}}_{u_{1}},{\vec {e}}_{u_{2}},{\vec {e}}_{u_{3}}]\right|\left|h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}\right|{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}{\text{d}}u_{3}=\left|{\sqrt {g}}\right|{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}{\text{d}}u_{3}}$

Ortogonáls koordinátákban:

${\displaystyle {\text{d}}V=\left|h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}\right|{\text{d}}u_{1}{\text{d}}u_{2}{\text{d}}u_{3}}$

Differenciáloperátorok három dimenzióban

Az ortogonális koordináta-rendszerek speciális esete több különböző szempontból is fontos, például mérnökök és fizikusok számára. Többek között azért, mert a leggyakrabban használt görbe vonalú koordináta-rendszerek, például a gömbi és az elliptikus, ortogonálisak. Más szempontból azért is fontosak, mert itt nem kell foglalkozni a kovariáns, a kontravariáns, a duális, a gamma-együttható és további kapcsolódó fogalmakkal. Továbbá a bázisok mindig ortogonálisak, habár nem mindig normáltak. Ortonormált rendszert a normált bázisok alkotnak. A normált vektorokat ${\displaystyle {\hat {}}}$ jelöli.

Ortogonális koordináta-rendszerekben a következő differenciáloperátorokat adják meg: gradiens, divergencia, rotáció, Laplace-operátor. Egy ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$ függvény gradiense megadja a függvény legnagyobb meredekségét, a ${\displaystyle {\rm {{div}\ \mathbf {a} (\mathbf {r} )}}}$ skalármező, illetve ${\displaystyle {\rm {{rot}\ \mathbf {a} }}}$ vektormező a forrás- és örvénysűrűséget jelenti. Jelentésük független a koordinátáktól.

A ${\displaystyle \Phi (\mathbf {u} )}$ skalárfüggvény gradiense:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\nabla }}\Phi &=\sum \limits _{i=1}^{3}{{\vec {e}}_{u_{i}}{\frac {1}{h_{u_{i}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial u_{i}}}}\\&={\vec {e}}_{u_{1}}{\frac {1}{h_{u_{1}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial u_{1}}}+{\vec {e}}_{u_{2}}{\frac {1}{h_{u_{2}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial u_{2}}}+{\vec {e}}_{u_{3}}{\frac {1}{h_{u_{3}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial u_{3}}}\end{aligned}}}$

Vegyük észre, hogy nemcsak ${\displaystyle \Phi }$, hanem minden megnevezett mennyiség, köztük a bázisvektorok és a ${\displaystyle h}$ együtthatók is függhetnek u-tól.

Egy vektormező divergenciája:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}&={\frac {1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}\left({\frac {h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}{h_{u_{j}}}}a_{u_{j}}\right)\\&={\frac {1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\left(h_{u_{2}}h_{u_{3}}a_{u_{1}}\right)+{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\left(h_{u_{1}}h_{u_{3}}a_{u_{2}}\right)+{\frac {\partial }{\partial u_{3}}}\left(h_{u_{1}}h_{u_{2}}a_{u_{3}}\right)\right]\end{aligned}}}$

Egy vektormező rotációja:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\nabla }}\times {\vec {a}}&={\frac {1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}}\sum _{i,j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}h_{u_{i}}{\vec {e}}_{u_{i}}{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}\left(h_{u_{k}}a_{u_{k}}\right)\\&={\frac {1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}}\left|{\begin{matrix}h_{u_{1}}{\vec {e}}_{u_{1}}&h_{u_{2}}{\vec {e}}_{u_{2}}&h_{u_{3}}{\vec {e}}_{u_{3}}\\{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}&{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}&{\frac {\partial }{\partial u_{3}}}\\h_{u_{1}}a_{u_{1}}&h_{u_{2}}a_{u_{2}}&h_{u_{3}}a_{u_{3}}\end{matrix}}\right|\\&={\frac {{\vec {e}}_{u_{1}}}{h_{u_{2}}h_{u_{3}}}}\left({\frac {\partial (h_{u_{3}}a_{u_{3}})}{\partial u_{2}}}-{\frac {\partial (h_{u_{2}}a_{u_{2}})}{\partial u_{3}}}\right)+{\frac {{\vec {e}}_{u_{2}}}{h_{u_{1}}h_{u_{3}}}}\left({\frac {\partial (h_{u_{1}}a_{u_{1}})}{\partial u_{3}}}-{\frac {\partial (h_{u_{3}}a_{u_{3}})}{\partial u_{1}}}\right)+{\frac {{\vec {e}}_{u_{3}}}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}}}\left({\frac {\partial (h_{u_{2}}a_{u_{2}})}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial (h_{u_{1}}a_{u_{1}})}{\partial u_{2}}}\right)\end{aligned}}}$

A Laplace-operátor:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \Phi &={\frac {1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}\left({\frac {h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}{h_{u_{j}}^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial u_{j}}}\right)\\&={\frac {1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\left({\frac {h_{u_{2}}h_{u_{3}}}{h_{u_{1}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial u_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\left({\frac {h_{u_{1}}h_{u_{3}}}{h_{u_{2}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial u_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial u_{3}}}\left({\frac {h_{u_{1}}h_{u_{2}}}{h_{u_{3}}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial u_{3}}}\right)\right]\end{aligned}}}$

Tehát nem elég a ${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}$ helyettesítést elvégezni, hanem alkalmazni kell a ${\displaystyle \Delta \Phi ={\rm {{div\ grad}\ \phi }}}$ definíciót. A fent megadott eredményeket a gyakorlatban egyszerűbben is megkaphatjuk ha a már meglevő koordinátafüggetlen definíciókat használjuk.

Konform leképezés

Két dimenzióban több hasznos koordináta-rendszert konform leképezéssel hoztak létre. Ezek nemcsak hogy derékszögűek, hanem szögtartóak tetszőleges szögre. Ez azt is jelenti, hogy két bázisvektor hosszának aránya mindig egy, például ${\displaystyle |h_{u_{k}}|:|h_{u_{1}}|,\ k=2,3,\dots ,}$ k-tól függetlenül, különben a gömbből ellipszoid lenne.

Differenciáloperátorok általános koordináta-rendszerben

A következőkben a természetes bázist, és a tenzoranalízisben megszokott jelöléseket használjuk. Azaz a felső index kontravarianciát, az alsó index kovarianciát jelez. Legyen továbbá ${\displaystyle \Phi }$ skalármező, és ${\displaystyle {\vec {a}}=a^{i}{\vec {b}}_{i}=a_{i}{\vec {b}}^{\,\,i}}$ vektormező.

Továbbá az írásmód ${\displaystyle \partial _{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ lesz, ${\displaystyle \Gamma _{ik}^{j}}$ Christoffel-szimbólum, amit ${\displaystyle \partial _{k}{\vec {b}}_{i}=\sum _{j}\Gamma _{ik}^{j}{\vec {b}}_{j}}$ definiál. A kovariáns derivált ${\displaystyle \nabla _{i}}$. Skalár kovariáns deriváltja ${\displaystyle \nabla _{k}\Phi =\partial _{k}\Phi }$, és vektor kovariáns deriváltja ${\displaystyle \nabla _{k}a^{i}=\partial _{k}a^{i}+\sum _{j}\Gamma _{kj}^{i}a^{j}}$, illetve ${\displaystyle \nabla _{k}a_{i}=\partial _{k}a_{i}-\sum _{j}\Gamma _{ki}^{j}a_{j}}$.

Skalármező gradiense:

${\displaystyle \mathrm {grad} \,\Phi =\sum _{i}(\nabla _{i}\Phi ){\vec {b}}^{\,\,i}=\sum _{i}(\partial _{i}\Phi ){\vec {b}}^{\,\,i}}$

Tenzormező gradiense:

Egy ${\displaystyle n\geq 1}$ fokú ${\displaystyle A}$ tenzor esetén két lehetőség adódik a gradiens definiálására:

• a jobbgradiens:

${\displaystyle \mathrm {grad} \,A=A\otimes \nabla =\sum _{k}(\partial _{k}A)\otimes {\vec {b}}^{\,\,k}}$

• a balgradiens:

${\displaystyle \mathrm {grad} \,A=\nabla \otimes A=\sum _{k}{\vec {b}}^{\,\,k}\otimes (\partial _{k}A)}$.

A továbbiakban a jobbgradienst használjuk.

Vektormező gradiense:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {grad} \,{\vec {a}}&=\sum _{k}(\partial _{k}{\vec {a}})\otimes {\vec {b}}^{\,\,k}\\&=\sum _{i,k}(\nabla _{k}a^{i}){\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}^{\,\,k}=\sum _{i,k}(\partial _{k}a^{i}+a^{l}\Gamma _{lk}^{i}){\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}^{\,\,k}\\&=\sum _{i,k}(\nabla _{k}a_{i}){\vec {b}}^{\,\,i}\otimes {\vec {b}}^{\,\,k}=\sum _{i,k}(\partial _{k}a_{i}-a_{l}\Gamma _{ik}^{l}){\vec {b}}^{\,\,i}\otimes {\vec {b}}^{\,\,k}\end{aligned}}}$

Másodfokú tenzor gradiense:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {grad} \,{\vec {a}}&=\sum _{k}(\partial _{k}{\vec {a}})\otimes {\vec {b}}^{\,\,k}\\&=\sum _{i,k}(\nabla _{k}a^{i}){\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}^{\,\,k}=\sum _{i,k}(\partial _{k}a^{i}+a^{l}\Gamma _{lk}^{i}){\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}^{\,\,k}\\&=\sum _{i,k}(\nabla _{k}a_{i}){\vec {b}}^{\,\,i}\otimes {\vec {b}}^{\,\,k}=\sum _{i,k}(\partial _{k}a_{i}-a_{l}\Gamma _{ik}^{l}){\vec {b}}^{\,\,i}\otimes {\vec {b}}^{\,\,k}\end{aligned}}}$

Vektormező divergenciája:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {div} \,{\vec {a}}&=\operatorname {Tr} (\mathrm {grad} \,{\vec {a}})\\&=\sum _{i}\nabla _{i}a^{i}=\sum _{i}\partial _{i}a^{i}+\sum _{i,j}\Gamma _{ij}^{i}a^{j}\\&=\sum _{i,k}\nabla _{i}a_{k}g^{ik}=\sum _{k}\left(\sum _{i}\partial _{i}a_{k}-\sum _{i,j}\Gamma _{ik}^{j}a_{j}\right)g^{ik}\\&=\sum _{i}{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{i}({\sqrt {g}}a^{i})\end{aligned}}}$

Tenzormező divergenciája: Az ${\displaystyle n\geq 2}$ fokú ${\displaystyle A}$ tenzorok esetén két lehetőség van a divergencia definiálására: a jobbdivergencia ${\displaystyle \mathrm {div} \,A=A\cdot \nabla }$ és a baldivergencia ${\displaystyle \mathrm {div} \,A=\nabla \cdot A}$. A továbbiakban a jobbdivergenciát használjuk.

Másodfokú tenzor divergenciája:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} {\underline {\underline {S}}}&=\sum _{i,j,k}\partial _{k}[S^{ij}\,{\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}]\cdot {\vec {b}}^{~k}=\sum _{i,j,k}\left[\nabla _{k}S^{ij}\right]{\vec {b}}_{i}\otimes \underbrace {{\vec {b}}_{j}\cdot {\vec {b}}^{~k}} _{\delta _{j}^{k}}=\sum _{i,k}\left[\nabla _{k}S^{ik}\right]{\vec {b}}_{i}\\&=\sum _{i,j,k}\partial _{k}[S_{i}^{~j}\,{\vec {b}}^{~i}\otimes {\vec {b}}_{j}]\cdot {\vec {b}}^{~k}=\sum _{i,j,k}\left[\nabla _{k}S_{i}^{~j}\right]{\vec {b}}^{~i}\otimes \underbrace {{\vec {b}}_{j}\cdot {\vec {b}}^{~k}} _{\delta _{j}^{k}}=\sum _{i,k}\left[\nabla _{k}S_{i}^{~k}\right]{\vec {b}}^{~i}\\&=\sum _{i,j,k}\partial _{k}[S_{~j}^{i}\,{\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}^{~j}]\cdot {\vec {b}}^{~k}=\sum _{i,j,k}\left[\nabla _{k}S_{~j}^{i}\right]{\vec {b}}_{i}\otimes \underbrace {{\vec {b}}^{~j}\cdot {\vec {b}}^{~k}} _{g^{jk}}=\sum _{i,k}\left[\nabla _{k}S^{ik}\right]{\vec {b}}_{i}\\&=\sum _{i,j,k}\partial _{k}[S_{ij}\,{\vec {b}}^{~i}\otimes {\vec {b}}^{~j}]\cdot {\vec {b}}^{~k}=\sum _{i,j,k}\left[\nabla _{k}S_{ij}\right]{\vec {b}}^{~i}\otimes \underbrace {{\vec {b}}^{~j}\cdot {\vec {b}}^{~k}} _{g^{jk}}=\sum _{i,k}\left[\nabla _{k}S_{i}^{~k}\right]{\vec {b}}^{~i}\end{aligned}}}$

Tenzormező rotációja:

Egy ${\displaystyle n\geq 1}$ fokú ${\displaystyle A}$ tenzor esetén két lehetőség adódik a rotáció definiálására:

• a jobbrotáció

${\displaystyle \mathrm {rot} \,A=A\otimes \nabla }$

• és a balrotáció:

${\displaystyle \mathrm {rot} \,A=\nabla \otimes A}$.

A továbbiakban a jobbrotációt használjuk:

${\displaystyle \mathrm {rot} \,A=A\otimes \nabla =-A\times \nabla =-\partial _{k}A\times {\vec {b}}^{\ k}}$

Vektormező rotációja:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {rot} \,{\vec {a}}&=\sum _{i,j,k}{\mathcal {E}}^{ijk}\nabla _{i}a_{j}{\vec {b}}_{k}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i,j,k}\epsilon ^{ijk}(\partial _{i}a_{j}){\vec {b}}_{k}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\left|{\begin{matrix}{\vec {b}}_{1}&{\vec {b}}_{2}&{\vec {b}}_{3}\\\partial _{1}&\partial _{2}&\partial _{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{matrix}}\right|={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i,j,k,l}\epsilon ^{ijk}(\partial _{i}a^{l}g_{jl}){\vec {b}}_{k}\\&=\sum _{i,j,k}{\mathcal {E}}_{ijk}\nabla ^{i}a^{j}{\vec {b}}^{\ k}={\sqrt {g}}\sum _{i,j,k}\epsilon _{ijk}(\partial ^{i}a^{j}){\vec {b}}^{\ k}={\sqrt {g}}\left|{\begin{matrix}{\vec {b}}^{\ 1}&{\vec {b}}^{\ 2}&{\vec {b}}^{\ 3}\\\partial ^{1}&\partial ^{2}&\partial ^{3}\\a^{1}&a^{2}&a^{3}\end{matrix}}\right|\end{aligned}}}$

Skalármező Laplace-operátora:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \Phi &=\mathrm {div} (\mathrm {grad} \,\Phi )\\&=\sum _{i}\nabla _{i}(\nabla ^{i}\Phi )=\sum _{i,j}\nabla _{i}g^{ij}\nabla _{j}\Phi =\sum _{i,j}\partial _{i}g^{ij}\partial _{j}\Phi +\sum _{i,j,k}\Gamma _{ij}^{i}g^{jk}\partial _{k}\Phi \\&=\sum _{i,j}{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{i}({\sqrt {g}}\,g^{ij}\partial _{j}\Phi )\end{aligned}}}$

Gradiens és totális differenciál

A következőkben a gradiens görbe vonalú koordináta-rendszerben vezetjük be. A helyvektor totális differenciálja előáll, mint:

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {r}}=\sum _{j}\partial _{j}{\vec {r}}\,\mathrm {d} u^{j}=\sum _{j}{\vec {b}}_{j}\,\mathrm {d} u^{j}\quad \Rightarrow \quad {\vec {b}}^{\,\,i}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=\sum _{j}\underbrace {{\vec {b}}^{\,\,i}\cdot {\vec {b}}_{j}} _{\delta _{j}^{i}}\,\mathrm {d} u^{j}=\mathrm {d} u^{i}}$

Legyen most ${\displaystyle \Phi }$ tetszőleges skalármező. Totális differenciálja a ${\displaystyle \mathrm {d} u^{i}}$ fenti ábrázolásával:

${\displaystyle \mathrm {d} \Phi =\sum _{i}(\partial _{i}\Phi )\,\mathrm {d} u^{i}=\sum _{i}(\partial _{i}\Phi )\,{\vec {b}}^{\,\,i}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}$

A ${\displaystyle \nabla \Phi }$ gradiens definiálható, mint:

${\displaystyle \mathrm {d} \Phi =\langle \nabla \Phi ,\mathrm {d} {\vec {r}}\rangle =\nabla \Phi \cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}$

és azonosítható, mint:

${\displaystyle \nabla \Phi =\sum _{i}(\partial _{i}\Phi )\,{\vec {b}}^{\,\,i}=\sum _{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial u^{i}}}\,{\vec {b}}^{\,\,i}}$

Ortogonális koordinátákban egy kovariáns bázisvektor ${\displaystyle {\vec {b}}_{i}=h_{i}{\vec {e}}_{i}}$, és a hozzá tartozó duális kontravariáns bázisvektor ${\displaystyle {\vec {b}}^{\,\,i}={\frac {1}{h_{i}}}{\vec {e}}_{i}}$. Így ortogonális koordinátákban a gradiens:

${\displaystyle \nabla \Phi =\sum _{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial u^{i}}}\,{\vec {b}}^{\,\,i}=\sum _{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial u^{i}}}\,{\frac {1}{h_{i}}}{\vec {e}}_{i}}$

${\displaystyle \Phi =u^{k}}$ esetén a ${\displaystyle {\vec {b}}^{\,\,k}}$ kontravariáns bázisvektor gradiensét kapjuk, tehát a ${\displaystyle u^{k}={\text{const.}}}$ koordinátafelület normálisának gradiensét:

${\displaystyle \nabla u^{k}=\sum _{i}(\partial _{i}u^{k})\,{\vec {b}}^{\,\,i}=\sum _{i}\underbrace {\frac {\partial u^{k}}{\partial u^{i}}} _{\delta _{i}^{k}}\,{\vec {b}}^{\,\,i}={\vec {b}}^{\,\,k}}$

Speciális Christoffel-szimbólumok

A divergencia kiszámításához szükség van a ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{i}}$ Christoffel-szimbólumra. Ez kifejezhető, mint a metrikus tenzor ${\displaystyle g}$ determinánsa:

${\displaystyle \sum _{i}\Gamma _{ij}^{i}=\sum _{i,k}{\cfrac {g^{ki}}{2}}{\frac {\partial g_{ik}}{\partial u^{j}}}=\sum _{i,k}{\cfrac {1}{2g}}{\frac {\partial g}{\partial g_{ik}}}{\frac {\partial g_{ik}}{\partial u^{j}}}={\cfrac {1}{2g}}{\frac {\partial g}{\partial u^{j}}}={\frac {1}{2g}}\partial _{j}g={\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{j}{\sqrt {g}}}$

ami következik abból, hogy ${\displaystyle g^{ij}={\frac {1}{g}}{\frac {\partial g}{\partial g_{ji}}}}$ és a következő összefüggésből:

${\displaystyle \sum _{ij}g^{ij}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial u_{k}}}=\sum _{ijl}\Gamma _{ik}^{l}g_{lj}g^{ij}+\sum _{ijl}\Gamma _{jk}^{l}g_{il}g^{ij}=\sum _{il}\Gamma _{ik}^{l}\delta _{l}^{i}+\sum _{jl}\Gamma _{jk}^{l}\delta _{l}^{j}=\sum _{i}\Gamma _{ik}^{i}+\sum _{j}\Gamma _{jk}^{j}=2\sum _{i}\Gamma _{ik}^{i}}$

Így a divergencia és a Laplace-operátor:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {div} \,{\vec {a}}&=\sum _{i}\partial _{i}a^{i}+\sum _{i,j}\Gamma _{ji}^{j}a^{i}=\sum _{i}\partial _{i}a^{i}+\sum _{i}{\frac {1}{\sqrt {g}}}(\partial _{i}{\sqrt {g}})a^{i}=\sum _{i}{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{i}({\sqrt {g}}a^{i})\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \Phi &=\sum _{i}\partial _{i}g^{ij}\partial _{j}\Phi +\sum _{i,j,k}\Gamma _{ki}^{k}g^{ij}\partial _{j}\Phi =\sum _{i}\partial _{i}g^{ij}\partial _{j}\Phi +\sum _{i,j}{\frac {1}{\sqrt {g}}}(\partial _{i}{\sqrt {g}})g^{ij}\partial _{j}\Phi =\sum _{i,j}{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{i}({\sqrt {g}}\,g^{ij}\partial _{j}\Phi )\end{aligned}}}$

Koordinátafüggetlen divergencia

A divergencia koordinátafüggetlen ábrázolása a következő forrássűrűséget vezeti be:

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {F}}=\lim _{\Delta V\to 0}{\frac {1}{\Delta V}}\oint \limits _{\partial (\Delta V)}\!\mathrm {d} {\vec {A}}\cdot {\vec {F}}}$

ahol ${\displaystyle \Delta V}$ egy tetszőleges térfogat, és az ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {A}}\cdot {\vec {F}}}$ áramot integráljuk a ${\displaystyle \partial (\Delta V)}$ peremen. A következőkben ez egy infinitezimális paralelepipedon a ${\displaystyle {\vec {r}}=(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}$ pont környezetben, melyet az ${\displaystyle {\vec {b}}_{i}\Delta u^{i}={\vec {e}}_{i}h_{i}\Delta u^{i}}$ vektorok feszítenek ki az ${\displaystyle u^{i}}$ koordinátavonalak irányában. Ez azt jelenti, hogy koordinátái az ${\displaystyle u^{i}\in I^{i}:=[u_{0}^{i},u_{0}^{i}+\Delta u^{i}]}$ intervallumba esnek. Az élek hossza ${\displaystyle h_{i}\Delta u^{i}}$, és az ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$ élek nem feltétlenül merőlegesek egymásra. A térfogat számítása:

${\displaystyle \Delta V=\left|\det[{\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2},{\vec {b}}_{3}]\right|\Delta u^{1}\Delta u^{2}\Delta u^{3}={\sqrt {g}}\,\Delta u^{1}\Delta u^{2}\Delta u^{3}}$

A paralelepipedont az ${\displaystyle u^{i}=u_{0}^{i}=\mathrm {const} }$ és az ${\displaystyle u^{i}=u_{0}^{i}+\Delta u^{i}=\mathrm {const} }$ lapok határolják. Egy ${\displaystyle u^{i}=u_{0}^{i}=\mathrm {const} }$ koordinátafelület felületeleme három dimenzióban:

${\displaystyle {\text{d}}{\vec {A}}^{i}=\pm \sum _{j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\vec {b}}_{j}\times {\vec {b}}_{k}\,{\text{d}}u^{j}{\text{d}}u^{k}=\pm \sum _{j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\sqrt {g}}\,{\vec {b}}^{\ i}\,{\text{d}}u^{j}{\text{d}}u^{k}}$

és a ${\displaystyle {\vec {F}}=\sum _{l}F^{l}{\vec {b}}_{l}}$ vektormező helyi árama ezen a felületelemen keresztül:

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {A}}^{i}\cdot {\vec {F}}=\pm \sum _{j,k,l=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\sqrt {g}}\,F^{l}\underbrace {{\vec {b}}^{\ i}\cdot {\vec {b}}_{l}} _{\delta _{l}^{i}}\,{\text{d}}u^{j}{\text{d}}u^{k}=\pm \sum _{j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\sqrt {g}}\,F^{i}\,{\text{d}}u^{j}{\text{d}}u^{k}}$

így a ${\displaystyle u^{1}=u_{0}^{1}}$ felületen keresztülhaladó áram (mivel a ${\displaystyle -\mathrm {d} {\vec {A}}^{\,1}}$ vektoriális felületelem kifelé mutat, azért ${\displaystyle -\mathrm {d} {\vec {A}}^{\,1}}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{1a}&=\int \limits _{(u^{2},u^{3})\in I^{2}\times I^{3}}\!\left[-\mathrm {d} {\vec {A}}^{\,1}\cdot {\vec {F}}\right]_{(u_{0}^{1},u^{2},u^{3})}=\int \limits _{u_{0}^{2}}^{u_{0}^{2}+\Delta u^{2}}\!\mathrm {d} u^{2}\int \limits _{u_{0}^{3}}^{u_{0}^{3}+\Delta u^{3}}\!\mathrm {d} u^{3}\left[-{\sqrt {g}}\,F^{1}\right]_{(u_{0}^{1},u^{2},u^{3})}\\&\approx \left[-{\sqrt {g}}\,F^{1}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{2}\Delta u^{3}\end{aligned}}}$

és a ${\displaystyle u^{1}=u_{0}^{1}+\Delta u^{1}}$ felületen áthaladó áram:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{1b}&=\int \limits _{(u^{2},u^{3})\in I^{2}\times I^{3}}\!\left[\mathrm {d} {\vec {A}}^{\,1}\cdot {\vec {F}}\right]_{(u_{0}^{1}+\Delta u^{1},u^{2},u^{3})}=\int \limits _{u_{0}^{2}}^{u_{0}^{2}+\Delta u^{2}}\!\mathrm {d} u^{2}\int \limits _{u_{0}^{3}}^{u_{0}^{3}+\Delta u^{3}}\!\mathrm {d} u^{3}\left[{\sqrt {g}}\,F^{1}\right]_{(u_{0}^{1}+\Delta u^{1},u^{2},u^{3})}\\&\approx \left[{\sqrt {g}}\,F^{1}\right]_{(u_{0}^{1}+\Delta u^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{2}\Delta u^{3}\approx \left[{\sqrt {g}}\,F^{1}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{2}\Delta u^{3}+\left[{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,F^{1}}{\partial u^{1}}}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{1}\Delta u^{2}\Delta u^{3}\end{aligned}}}$

itt az integrandust az ${\displaystyle (u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}$ helyen első rendben ${\displaystyle \Delta u^{i}}$-ba fejtettük. A kettő összevetésével

${\displaystyle \Phi _{1}=\Phi _{1a}+\Phi _{1b}=\left[{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,F^{1}}{\partial u^{1}}}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{1}\Delta u^{2}\Delta u^{3}}$

A többi koordinátára hasonlóan:

${\displaystyle {\frac {1}{\Delta V}}\oint \limits _{\partial (\Delta V)}\!\mathrm {d} {\vec {A}}\cdot {\vec {F}}={\frac {1}{\Delta V}}\sum _{i=1}^{3}\Phi _{i}={\frac {1}{{\sqrt {g}}\,\Delta u^{1}\Delta u^{2}\Delta u^{3}}}\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,F^{i}}{\partial u^{i}}}\Delta u^{1}\Delta u^{2}\Delta u^{3}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,F^{i}}{\partial u^{i}}}}$

így a divergencia a természetes ${\displaystyle F^{i}}$, illetve normált ${\displaystyle {\tilde {F}}^{i}}$ koordinátákban:

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {F}}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i}\partial _{i}{\sqrt {g}}\,F^{i}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i}\partial _{i}{\sqrt {g}}\,{\tilde {F}}^{i}/h_{i}}$

Ortogonális koordinátákban:

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {F}}={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\sum _{i}\partial _{i}{\frac {h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{i}}}{\tilde {F}}^{i}}$

Koordinátafüggetlen rotáció

A rotáció koordinátafüggetlen definíciója:

${\displaystyle (\operatorname {rot} {\vec {F}})\cdot {\hat {n}}=\lim _{\Delta A\to 0}{\frac {1}{\Delta A}}\oint \limits _{\partial (\Delta A)}\!{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}$

ahol ${\displaystyle \Delta A}$ tetszőleges felület az ${\displaystyle {\hat {n}}}$ egységnormálissal, ahol az ${\displaystyle \int \mathrm {d} {\vec {r}}\cdot {\vec {F}}}$ vonal menti integrál a felület ${\displaystyle \partial (\Delta A)}$ pereme körül fut.

A továbbiakban egy ${\displaystyle {\hat {n}}={\vec {b}}^{\;3}/|{\vec {b}}^{\;3}|}$ felületet tekintünk. Így a bal oldal:

${\displaystyle (\operatorname {rot} {\vec {F}})\cdot {\hat {n}}=\sum _{i=1}^{3}(\operatorname {rot} {\vec {F}})^{i}{\vec {b}}_{i}\cdot {\frac {{\vec {b}}^{\;3}}{|{\vec {b}}^{\;3}|}}=(\operatorname {rot} {\vec {F}})^{3}{\frac {1}{|{\vec {b}}^{\;3}|}}}$

Legyen ${\displaystyle \Delta A}$ egy (infinitezimális) paralelogramma a ${\displaystyle {\vec {r}}=(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}$ pont körül, melyet a ${\displaystyle {\vec {b}}_{1}\Delta u^{1}}$ és ${\displaystyle {\vec {b}}_{2}\Delta u^{2}}$ vektorok feszítenek ki. Ennek terűlete ${\displaystyle \Delta A=|{\vec {b}}_{1}\Delta u^{1}\times {\vec {b}}_{2}\Delta u^{2}|={\sqrt {g}}\,|{\vec {b}}^{\;3}|\,\Delta u^{1}\Delta u^{2}}$.

Az integráció ennek a paralelogrammának az éleit járja körbe:

${\displaystyle [u_{0}^{1},u_{0}^{2}]{\xrightarrow[{\mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {b}}_{1}\mathrm {d} u^{1}}]{\gamma _{1}}}[u_{0}^{1}+\Delta u^{1},u_{0}^{2}]{\xrightarrow[{\mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {b}}_{2}\mathrm {d} u^{2}}]{\gamma _{2}}}[u_{0}^{1}+\Delta u^{1},u_{0}^{2}+\Delta u^{2}]{\xrightarrow[{\mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {b}}_{1}\mathrm {d} u^{1}}]{\gamma _{3}}}[u_{0}^{1},u_{0}^{2}+\Delta u^{2}]{\xrightarrow[{\mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {b}}_{2}\mathrm {d} u^{2}}]{\gamma _{4}}}[u_{0}^{1},u_{0}^{2}]}$

Ha ${\displaystyle {\vec {F}}=\sum _{i=1}^{3}F_{i}{\vec {b}}^{\,\,i}}$, akkor ${\displaystyle {\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=F_{1}\,\mathrm {d} u^{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$-re és ${\displaystyle \gamma _{3}}$-ra, illetve ${\displaystyle {\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=F_{2}\,\mathrm {d} u^{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$-re és ${\displaystyle \gamma _{4}}$-re.

Az 1 és 3 út menti integrálok összefoglalva:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma _{1}+\gamma _{3}}\!{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}&=\int \limits _{u_{0}^{1}}^{u_{0}^{1}+\Delta u^{1}}\!\left[F_{1}\right]_{(u^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\mathrm {d} u^{1}+\int \limits _{u_{0}^{1}+\Delta u^{1}}^{u_{0}^{1}}\!\left[F_{1}\right]_{(u^{1},u_{0}^{2}+\Delta u^{2},u_{0}^{3})}\mathrm {d} u^{1}\\&=\int \limits _{u_{0}^{1}}^{u_{0}^{1}+\Delta u^{1}}\!\left(\left[F_{1}\right]_{(u^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}-\left[F_{1}\right]_{(u^{1},u_{0}^{2}+\Delta u^{2},u_{0}^{3})}\right)\mathrm {d} u^{1}\end{aligned}}}$

Ha az integrandust az ${\displaystyle (u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}$ helyen első rendben kifejtjük ${\displaystyle \Delta u^{1}}$-re, akkor akkor a megközelített integrandus ${\displaystyle u_{0}^{1}}$-től függ, tehát független ${\displaystyle u^{1}}$-től, így az integrandus egyszerűen kiértékelhető:

${\displaystyle \int _{\gamma _{1}+\gamma _{3}}\!{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}\approx \int \limits _{u_{0}^{1}}^{u_{0}^{1}+\Delta u^{1}}\!\left(-\left[{\frac {\partial F_{1}}{\partial u^{2}}}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{2}\right)\mathrm {d} u^{1}=-\left[{\frac {\partial F_{1}}{\partial u^{2}}}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{2}\Delta u^{1}}$

Analóg módon, a 2 és a 4 út menti integrálra adódik, hogy:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma _{2}+\gamma _{4}}\!{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}&=\int \limits _{u_{0}^{2}}^{u_{0}^{2}+\Delta u^{2}}\!\underbrace {\left(\left[F_{2}\right]_{(u_{0}^{1}+\Delta u^{1},u^{2},u_{0}^{3})}-\left[F_{2}\right]_{(u_{0}^{1},u^{2},u_{0}^{3})}\right)} _{\approx \left[{\frac {\partial F_{2}}{\partial u^{1}}}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{1}}\mathrm {d} u^{2}\approx \left[{\frac {\partial F_{2}}{\partial u^{1}}}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{1}\Delta u^{2}\end{aligned}}}$

Összevetve a cirkuláció ${\displaystyle u^{3}=u_{0}^{3}}$-on belül a ${\displaystyle \Delta A}$ paralelogramma körül:

${\displaystyle \oint \limits _{\partial (\Delta A)}\!{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}\approx \left[{\frac {\partial F_{2}}{\partial u^{1}}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial u^{2}}}\right]_{(u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}\Delta u^{1}\Delta u^{2}}$

${\displaystyle \Delta u^{1},\Delta u^{2}\to 0}$ esetén a közelítésekből egzakt relációk lesznek. A rotáció definiáló egyenlőségét behelyettesítve, ha minden mennyiséget ${\displaystyle (u_{0}^{1},u_{0}^{2},u_{0}^{3})}$ körül értékelünk ki.

${\displaystyle (\operatorname {rot} {\vec {F}})^{3}{\frac {1}{|{\vec {b}}^{\;3}|}}=\lim _{\Delta A\to 0}{\frac {1}{{\sqrt {g}}\,|{\vec {b}}^{\;3}|\,\Delta u^{1}\Delta u^{2}}}\left[{\frac {\partial F_{2}}{\partial u^{1}}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial u^{2}}}\right]\Delta u^{1}\Delta u^{2}\quad \implies \quad (\operatorname {rot} {\vec {F}})^{3}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\left[\partial _{1}F_{2}-\partial _{2}F_{1}\right]}$

Hasonló eredményeket kaphatunk a többi koordinátára is a koordináták ciklikus cseréjével. Így a rotáció azzal, hogy: ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{ijk}=\varepsilon ^{ijk}/{\sqrt {g}}}$:

${\displaystyle \left(\operatorname {rot} {\vec {F}}\right)^{i}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{jk}\varepsilon ^{ijk}\partial _{j}\,F_{k}\quad \implies \quad \operatorname {rot} {\vec {F}}=\sum _{ijk}{\vec {b}}_{i}{\mathcal {E}}^{ijk}\partial _{j}\,F_{k}}$

A természetes ${\displaystyle F_{k}}$ kovariáns koordináta számítható a (természetes) kontravariáns ${\displaystyle F^{n}}$-ből úgy, mint ${\displaystyle F_{k}=\sum _{n}g_{kn}F^{n}}$. A továbbiakban a normált koordináták ${\displaystyle F^{n}={\tilde {F}}^{n}/h_{n}}$ illetve ${\displaystyle {\vec {b}}_{i}=h_{i}{\vec {e}}_{i}}$.

Ha a koordináták ortogonálisak, akkor ${\displaystyle g_{kn}=h_{k}^{2}\delta _{kn}}$ miatt teljesül, hogy ${\displaystyle F_{k}=h_{k}^{2}F^{k}}$ sowie ${\displaystyle {\sqrt {g}}=h_{1}h_{2}h_{3}}$. Az ${\displaystyle {\tilde {F}}^{k}}$ ortogonális normált koordinátákra ${\displaystyle F_{k}=h_{k}{\tilde {F}}^{k}}$, tehát ekkor a rotáció:

${\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {F}}={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\sum _{ijk}h_{i}{\vec {e}}_{i}\varepsilon ^{ijk}\partial _{j}\,(h_{k}{\tilde {F}}^{k})}$

A rotáció mint antiszimmetrikus tenzor

A rotáció képletében feltűnnek a ${\displaystyle \nabla _{i}a_{j}-\nabla _{j}a_{i}}$ termek, melyek parciális deriváltakká egyszerűsíthetők, mivel a Christoffel-szimbólumok alsó indexükben szimmetrikusak:

${\displaystyle \nabla _{i}a_{j}-\nabla _{j}a_{i}=\partial _{i}a_{j}-\Gamma _{ij}^{k}a_{k}-\partial _{j}a_{i}+\Gamma _{ji}^{k}a_{k}=\partial _{i}a_{j}-\partial _{j}a_{i}\quad \iff \quad \sum _{i,k}\epsilon ^{ijk}\Gamma _{ik}^{l}=-\sum _{i,k}\epsilon ^{ijk}\Gamma _{ik}^{l}=0}$

Ez a mennyiség egy másodfokú antiszimmetrikus tenzort ábrázol, a ${\displaystyle {\vec {a}}}$ vektor rotorja.

Példák görbevonalú koordináta-rendszerekre

Ortogonális koordináta-rendszerek

• Hengerkoordináta-rendszer: ${\displaystyle (\rho ,\phi ,z)}$

${\displaystyle \rho \geq 0\,,\quad 0\leq \phi <2\pi \,,\quad -\infty <z<\infty }$

${\displaystyle x=\rho \cos \phi \,,\quad y=\rho \sin \phi \,,\quad z=z}$

• Gömbkoordináta-rendszer: ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$

${\displaystyle r\geq 0\,,\quad 0\leq \theta \leq \pi \,,\quad 0\leq \phi <2\pi }$

${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi \,,\quad y=r\sin \theta \sin \phi \,,\quad z=r\cos \theta }$

• Parabolikus hengerkoordináta-rendszer: ${\displaystyle (u,v,z)}$

${\displaystyle -\infty <u<\infty \,,\quad v\geq 0\,,\quad -\infty <z<\infty }$

${\displaystyle x=(u^{2}-v^{2})/2\,,\quad y=uv\,,\quad z=z}$

• Paraboloid koordináta-rendszer: ${\displaystyle (u,v,\phi )}$

${\displaystyle u\geq 0\,,\quad v\geq 0\,,\quad 0\leq \phi <2\pi }$

${\displaystyle x=uv\cos \phi \,,\quad y=uv\sin \phi \,,\quad z=(u^{2}-v^{2})/2}$

• Elliptikus hengerkoordináta-rendszer: ${\displaystyle (\xi ,\phi ,z)}$

${\displaystyle \xi \geq 0\,,\quad 0\leq \phi <2\pi \,,\quad -\infty <z<\infty }$

${\displaystyle x=a\operatorname {ch} \xi \cos \phi \,,\quad y=a\operatorname {sh} \xi \sin \phi \,,\quad z=z}$

• Nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer: ${\displaystyle (\xi ,\theta ,\phi )}$

${\displaystyle \xi \geq 0\,,\quad 0\leq \theta \leq \pi \,,\quad 0\leq \phi <2\pi }$

${\displaystyle x=a\operatorname {sh} \xi \sin \theta \cos \phi \,,\quad y=a\operatorname {sh} \xi \sin \theta \sin \phi \,,\quad z=a\operatorname {ch} \xi \cos \theta }$

• Lapított ellipszoid koordináta-rendszer: ${\displaystyle (\xi ,\vartheta ,\phi )}$

${\displaystyle \xi \geq 0\,,\quad -\pi /2\leq \vartheta \leq \pi /2\,,\quad 0\leq \phi <2\pi }$

${\displaystyle x=a\operatorname {ch} \xi \cos \vartheta \cos \phi \,,\quad y=a\operatorname {ch} \xi \cos \vartheta \sin \phi \,,\quad z=a\operatorname {sh} \xi \sin \vartheta }$

• Bipoláris koordináta-rendszer: ${\displaystyle (u,v,z)}$

${\displaystyle 0\leq u<2\pi \,,\quad -\infty <v<\infty \,,\quad -\infty <z<\infty }$

${\displaystyle x={\frac {a\operatorname {sh} v}{\operatorname {ch} v-\cos u}}\,,\quad y={\frac {a\sin u}{\operatorname {ch} v-\cos u}}\,,\quad z=z}$

• Ellipszoid koordináta-rendszer: ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}&=1\ ,\quad \lambda <c^{2}<b^{2}<a^{2}\\{\frac {x^{2}}{a^{2}-\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\mu }}&=1\ ,\quad c^{2}<\mu <b^{2}<a^{2}\\{\frac {x^{2}}{a^{2}-\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\nu }}&=1\ ,\quad c^{2}<b^{2}<\nu <a^{2}\end{aligned}}}$

Nem ortogonális koordináta-rendszer

• Alternatív elliptikus hengerkoordináták: ${\displaystyle (\xi ,\phi ,z)}$

${\displaystyle \xi \geq 0\,,\quad 0\leq \phi <2\pi \,,\quad -\infty <z<\infty }$

${\displaystyle x=a\xi \cos \phi \,,\quad y=b\xi \sin \phi \,,\quad z=z}$

Differenciálgeometria

A görbe vonalú koordináták egyik hagyományos alkalmazását a differenciálgeometriában találjuk meg, speciálisan differenciálható sokaságok atlaszaiban. A következőkben összefüggéseket vezetünk le a differenciálformák kalkulusához, amelyek ezen számítások alapján koordinátafüggetlenül ábrázolhatók.

Differenciálformák

Legyen ${\displaystyle M}$ egy ${\displaystyle n}$-dimenziós differenciálható sokaság. Egy ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k}$-forma minden ${\displaystyle p\in M}$ ponthoz hozzárendel egy sima alternáló ${\displaystyle \omega _{p}}$ ${\displaystyle k}$-multilineáris formát a ${\displaystyle T_{p}M}$ érintőtéren. Ez az ${\displaystyle \omega _{p}}$ egy valós értékű lineáris funkcionál, ami vektormező ${\displaystyle k}$-saihoz valós számokat rendelnek:

${\displaystyle \omega _{p}\colon \underbrace {T_{p}M\times \ldots \times T_{p}M} _{k{\text{-szor}}}\to \mathbb {R} }$

Itt ${\displaystyle \omega _{p}}$ maga az érintőtér külső hatványának eleme, azaz ${\displaystyle \Lambda ^{k}(T_{p}^{*}M)=T_{p}^{*}M\wedge \ldots \wedge T_{p}^{*}M}$ eleme, mivel teljesül, hogy ${\displaystyle \Lambda ^{0}(T^{*}M)=C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$ és ${\displaystyle \Lambda ^{1}(T^{*}M)=T^{*}M}$. Az összes ${\displaystyle M}$ fölötti ${\displaystyle k}$-forma halmaza, illetve a ${\displaystyle \textstyle \Lambda ^{k}(T^{*}M)=\bigsqcup _{p\in M}\Lambda ^{k}(T_{p}^{*}M)}$ diszjunkt unió képezi az ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$ vektorteret. Ezekkel a képletekkel atlaszfüggetlenül lehet integrálni egy sokaságon.

A tenzoranalízisben ${\displaystyle \omega _{p}}$ antiszimmetrikus ${\displaystyle k}$-fokú kovariáns tenzor. Lásd: alternáló ${\displaystyle k}$-multilineáris forma.

Differenciálformák: ábrázolás koordinátákkal

Legyen ${\displaystyle U}$ nyílt része ${\displaystyle M}$-nek, és ${\displaystyle (U,x)}$ helyi koordináta-rendszer az ${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}$ helyi koordinátákkal. Ekkor a ${\displaystyle p\in U}$ helyen

${\displaystyle \left\{{\vec {b}}_{i}\mid i=1,\ldots n\right\}=\left\{\partial _{i}\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\mid i=1,\ldots n\right\}}$

a ${\displaystyle T_{p}M}$ érintőtér helyi bázisa és

${\displaystyle \left\{{\vec {b}}^{\ i}\mid i=1,\ldots n\right\}=\left\{\mathrm {d} x^{i}\in \Omega ^{1}M\mid i=1,\ldots n\right\}}$

a hozzá tartozó duális bázis. A dualitást ${\displaystyle \mathrm {d} x^{i}\,\partial _{j}=\delta _{j}^{i}}$ fejezi ki, tehát ez bázisa a ${\displaystyle T_{p}^{*}M=\Lambda ^{1}(T_{p}^{*}M)\subset \Omega ^{1}M}$ koérintőtérnek. Ezek 1-formák a ${\displaystyle T_{p}M}$ vektortéren. Ezeknek az ${\displaystyle \mathrm {d} x^{i}}$ 1-formáknak a ${\displaystyle k}$-szoros ${\displaystyle \wedge }$ külső szorzata, ahol ${\displaystyle \mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{j}}$ asszociatív, bilineáris és antikommutatív, egy ${\displaystyle k}$-forma, ahol

${\displaystyle \{\mathrm {d} x^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x^{i_{k}}\in \Omega ^{k}M\mid 1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n\}}$

a ${\displaystyle T_{p}^{*}M}$ koérintőtér fölötti ${\displaystyle \Lambda ^{k}(T_{p}^{*}M)}$ külső algebra egy bázisa. Minden ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$ differenciálforma egyértelműen ábrázolható az összes ${\displaystyle (U,x)}$ térképen:

${\displaystyle \omega =\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n}w_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)\,\mathrm {d} x^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x^{i_{k}}}$

Például egy 2-forma:

${\displaystyle \omega =\sum _{1\leq i<j\leq n}w_{ij}(x)\,\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{j}=\sum _{1\leq i<j\leq n}w_{ij}(x)\,\left(\mathrm {d} x^{i}\otimes \mathrm {d} x^{j}-\mathrm {d} x^{j}\otimes \mathrm {d} x^{i}\right)}$

ami megfelel egy másodfokú antiszimmetrikus kovariáns tenzormezőnek. Az ${\displaystyle n=3}$ esetben:

${\displaystyle \omega =\sum _{\underset {i<j}{i,j=1}}^{3}w_{ij}(x)\,\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{j}=w_{12}(x)\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}+w_{13}(x)\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{3}+w_{23}(x)\,\mathrm {d} x^{2}\wedge \mathrm {d} x^{3}}$

A skalár- és vektormezők kapcsolata a differenciálformákkal

Differenciálható skalármezők esetén teljesül az azonosság: az ${\displaystyle f\colon \,M\to \mathbb {R} }$ sima függvények identikusak a 0-formákkal:

${\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} )=\Omega ^{0}M}$

A következő izomorfiával egy ${\displaystyle {\vec {v}}\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} ^{n})}$ differenciálható vektormezőhöz egyértelműen hozzárendelhető egy 1-forma, ahol ${\displaystyle \left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle }$ a skalárszorzat, és alkalmazzuk az Einstein-féle összegkonvenciót is:

${\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} ^{n}){\overset {\cong }{\longrightarrow }}\Omega ^{1}M\ ,\quad {\vec {v}}=v_{i}{\vec {b}}^{\ i}\mapsto \left\langle {\vec {v}}\mid \cdot \right\rangle =v_{i}\left\langle {\vec {b}}^{\ i}\mid \cdot \right\rangle =v_{i}\mathrm {d} x^{i}}$

A Hodge-Stern-operátorral egy skalármezőhöz hozzárendelhető egy ${\displaystyle n}$-forma, és egy vektormezőhöz egy ${\displaystyle (n-1)}$-forma.

Művelet érintő- és koérintővektorok

A flat, bé ${\displaystyle \flat }$ és sharp, kereszt ${\displaystyle \sharp }$ zenei operátorok izomorfiákat írnak le, melyeket a ${\displaystyle {\underline {\underline {g}}}=\left\langle \partial _{i}\mid \partial _{j}\right\rangle \mathrm {d} x^{i}\otimes \mathrm {d} x^{j}}$ Riemann-metrika indukál, és az érintővektorokat a koérintővektorokra, illetve megfordítva képezik le:

${\displaystyle \sharp :\,T_{p}M\to T_{p}^{*}M\ ,\quad v^{i}{\vec {e_{i}}}\mapsto v^{i}g_{ij}{\vec {b}}^{\ j}=v_{j}{\vec {b}}^{\ j}\ ,\quad v^{i}\partial _{i}\mapsto v_{j}\mathrm {d} x^{j}}$

${\displaystyle \flat :\,T_{p}^{*}M\to T_{p}M\ ,\quad v_{i}{\vec {b}}^{\ i}\mapsto v_{i}g^{ij}{\vec {b}}_{j}=v^{j}{\vec {b}}_{j}\ ,\quad v_{i}\mathrm {d} x^{i}\mapsto v^{j}\partial _{j}}$

A tenzor notációban ez az indexek emelésének és süllyesztésének felel meg.

Hodge-Stern-operátor

Az ${\displaystyle n}$dimenziós, irányított, euklideszi terekben létezik egy kanonikus izomorfizmus, ami a komplementer fokú (${\displaystyle k}$ és ${\displaystyle n-k}$) alternáló multilineáris formákat egymásra képezi le. Ez az úgynevezett Hodge-Stern-operátor:

${\displaystyle *:\,\Omega ^{k}M{\overset {\cong }{\longrightarrow }}\Omega ^{n-k}M}$

Mindkét vektortér dimenziója ${\displaystyle {\binom {n}{k}}\equiv {\binom {n}{n-k}}}$.

Három dimenzióban, azaz ${\displaystyle n=3}$ esetén egy 0-formához hozzárendel egy 3-formát:

${\displaystyle \Omega ^{0}M{\overset {*}{\leftrightarrow }}\Omega ^{3}M\ ,\quad \rho \mapsto \rho \,\det(\cdot ,\cdot ,\cdot )=\rho \,\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}\wedge \mathrm {d} x^{3}}$

és egy 1-formához egy 2-formát

${\displaystyle \Omega ^{1}M{\overset {*}{\leftrightarrow }}\Omega ^{2}M\ ,\quad \left\langle {\vec {v}}\mid \cdot \right\rangle =v_{i}\mathrm {d} u^{i}\mapsto \det({\vec {v}},\cdot ,\cdot )=\epsilon _{\ jk}^{i}v_{i}\,\mathrm {d} x^{j}\wedge \mathrm {d} x^{k}}$

Így egy differenciálható ${\displaystyle {\vec {a}}}$ vektormezőhöz nemcsak egy ${\displaystyle a_{1}\mathrm {d} x^{1}+a_{2}\mathrm {d} x^{2}+a_{3}\mathrm {d} x^{3}}$ 1-forma, hanem egy ${\displaystyle a_{1}\,\mathrm {d} x^{2}\wedge \mathrm {d} x^{3}+a_{2}\,\mathrm {d} x^{3}\wedge \mathrm {d} x^{1}+a_{3}\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}}$ 2-forma is hozzárendelhető. Egy differenciálható ${\displaystyle f}$ skalárfüggvényhez pedig hozzárendelhető egy ${\displaystyle f}$ 0-forma, illetve egy ${\displaystyle f\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}\wedge \mathrm {d} x^{3}}$ 3-forma is.

Egy ${\displaystyle k}$-forma külső deriváltja egy ${\displaystyle (k+1)}$-forma keletkezik. A zenei operátorokkal és a Hodge-Stern-operátorral képződik a De-Rham-komplexus. Két külső derivált láncolása identikus nullával. Ebből levezethetők a vektoranalízis integráltételei, a Stokes-tétel, Gauß integráltétele és a Green-tétel.

Jegyzetek

Források

• Günter Bärwolff: Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. 2. Auflage, 1. korrigierte Nachdruck. Spektrum Akademischer Verlag, München u. a. 2009, ISBN 978-3-8274-1688-9.
• Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. 4. überarbeitete Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0411-2.
• Siegfried Kästner: Vektoren, Tensoren, Spinoren. Eine Einführung in den Tensorkalkül unter Berücksichtigung der physikalischen Anwendung. 2. verbesserte Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1964.
• Murray R. Spiegel, Dennis Spellman, Seymour Lipschutz: Vector Analysis. Schaum’s Outlines. 2. Auflage. McGraw-Hill, 2009, ISBN 978-0-07-161545-7.
• Heinz Schade, Klaus Neemann: Tensoranalysis. 3. überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-020696-8.
• Klaus Jänich: Vektoranalysis. 5. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2005, ISBN 978-3-540-23741-9.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Krummlinige Koordinaten című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.