Ferdetest

Az algebrában ferdetest a neve az olyan ${\displaystyle F}$ egységelemes gyűrűnek, amelyben minden nemnulla elemnek van multiplikatív inverze, azaz minden ${\displaystyle x\in F,x\neq 0}$ elemhez van olyan ${\displaystyle x^{-1}\in F}$ elem, hogy ${\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1}$.^[1]

A ferdetest tehát a test minden tulajdonságának megfelel, kivéve a szorzás kommutativitását. Nem kommutatív ferdetestre példa a kvaterniók ferdeteste.

A ferdetest centruma egy test, amely fölött a ferdetest a beágyazással algebrává válik. Egy adott K közös centrumú, K fölötti vektortérként véges dimenziójú ferdetestek halmaza K Brauer-csoportja.

A szintetikus geometriában ferdetesteket használnak az affin és a projektív geometriák koordinátázásához. A nem test feletti projektív és affin síkokat alternatív testekkel, kvázitestekkel és ternértestekkel koordinátázzák. Ezek a ferdetest fogalmát általánosítják: minden ferdetest alternatív test, minden alternatív test kvázitest, és minden kvázitest ternértest.

Szóhasználat

Sokszor ferdetestre gondolnak, amikor testről írnak, különösen a régebbi irodalomban. Német nyelvterületen néha még ma is felbukkan a Körper szó ebben a jelentésben. Az angolban általában a division ring kifejezést használják; a skew field gyakran csak arra az esetre vonatkozik, amikor kiemelik, hogy az adott struktúra nem kommutatív. Általában a field vonatkozik a kommutatív és a nem kommutatív esetre is. A francia corps is inkább a ferdetestre vonatkozik.

Definíciók

Az S halmaz ferdetest, ha el van látva a + és a ${\displaystyle \cdot }$ műveletekkel, és a 0 és 1 konstansokkal, hogy:

1. ${\displaystyle (S,+,0)}$ Abel-csoport
2. ${\displaystyle (S\setminus \{0\},{}\cdot {},1)}$ csoport
3. a szorzás mindkét oldalról disztributív az összeadásra, azaz S bármely három a, b és c elemére

• ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$ balról disztributív
• ${\displaystyle (b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a}$ jobbról disztributív

A mindkét oldali disztributivitásra azért van szükség, mert a szorzásnak nem kell kommutatívnak lennie.

Cohn ekvivalens definíciója a ferdetest multiplikatív félcsoportját helyezi előtérbe:^[2]

Legyen ${\displaystyle (G,\cdot ,1)}$ csoport, amit bővítünk egy 0 elemmel úgy, hogy ${\displaystyle x\cdot 0=0\cdot x=0}$. Legyen ${\displaystyle \sigma :G_{0}\rightarrow G_{0}}$ olyan, hogy

1. ${\displaystyle \exists e\in G:\sigma (e)=0,}$
2. ${\displaystyle \sigma (0)=1}$
3. ${\displaystyle \sigma (a^{-1}\cdot b\cdot a)=a^{-1}\cdot \sigma (b)\cdot a}$ minden ${\displaystyle a,b\in G}$-re,
4. ${\displaystyle \sigma (\sigma (b\cdot a^{-1})\cdot a)=(\sigma (\sigma (b)\cdot a^{-1})\cdot a}$ minden ${\displaystyle a\in G,b\in G_{0},}$-ra

akkor ${\displaystyle (G_{0},+,\cdot ,0,1)}$ ferdetest az

${\displaystyle x+y={\begin{cases}\sigma (x\cdot y^{-1})\cdot y\quad &(y\neq 0)\\x\quad &(y=0)\end{cases}}}$

összeadással. Adott összeadással ellátott ferdetest esetén a ${\displaystyle \sigma }$ leképezés ${\displaystyle \sigma (a)=a+1}$ alakban adható meg.

Günter Pickert ekvivalens definíciója nem követeli meg a disztributivitást:^[3] Legyen ${\displaystyle (S,+,\cdot ,0,1)}$ halmaz a + és a ${\displaystyle \cdot }$ műveletekkel, és a 0 és 1 konstansokkal, továbbá

1. ${\displaystyle (S,+,0)}$ Abel-csoport,
2. ${\displaystyle (S\setminus \{0\},\cdot ,1)}$ csoport
3. és ${\displaystyle (S\setminus \{1\},\circ ,0)}$ szintén csoport a ${\displaystyle a\circ b=a+b-a\cdot b}$ művelettel,
4. és ${\displaystyle 0\cdot 1=1\cdot 0=0}$.

Ekkor ${\displaystyle (S,+,\cdot ,0,1)}$ ferdetest.

Tulajdonságok és kapcsolódó fogalmak

Résztest

Hogyha S ferdetest, és ${\displaystyle D\subseteq S}$ részhalmaza S-nek úgy, hogy ${\displaystyle 0,1\in D}$, ${\displaystyle (D,+)}$ részcsoport ${\displaystyle (S,+)}$-ban, és ${\displaystyle (D\setminus \{0\},\cdot )}$ és ${\displaystyle (S\setminus \{0\},\cdot ,1)}$, akkor D részteste S-nek. Jelölése: ${\displaystyle D\leq S.}$

Test

Ha az ${\displaystyle F}$ ferdetest elemei a fentieken kívül még kommutatívak is a szorzásra nézve, akkor ${\displaystyle F}$-et testnek nevezzük. (Egyes szerzők a nemkommutatív ferdetesteket is testnek nevezik, a kommutatív ferdetestekre pedig a kommutatív test kifejezést használják.)

Az ${\displaystyle F}$ ferdetest centruma a ${\displaystyle Z}$={z∈${\displaystyle F}$:zx=xz ∀x∈${\displaystyle F}$} halmaz. Egy ferdetest centruma mindig test; maga a ferdetest a centruma fölötti algebrát alkot.

Centrum és centralizátor

• Ha ${\displaystyle S}$ ferdetest, akkor a ${\displaystyle Z(S)=\lbrace x\in S\left|\;\forall a\in S:x\cdot a=a\cdot x\right.\rbrace }$ halmaz S centruma. Elemei a centrális elemek.
• S centruma a multiplikatív csoport centruma, hozzávéve a nullelemet: ${\displaystyle Z(S)=Z(S\setminus \{0\},{}\cdot {})\cup \{0\}}$. A centrum test.
• Az ${\displaystyle A\subseteq S}$ részhalmaz ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{S}(A)}$ centralizátora nem más, mint ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{S}(A)=\left\lbrace x\in S\left|\;\forall a\in A:a\cdot x=x\cdot a\right.\right\rbrace .}$ Minden centralizátor nem feltétlenül kommutatív részteste S-nek.
• Az A részhalmaz centralizátorára teljesül, hogy ${\displaystyle Z(S)\leq Z({\mathcal {C}}_{S}(A))\leq {\mathcal {C}}_{S}(A).}$
• A centralizátor képzése megfordítja a halmazelméleti tartalmazást:${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow {\mathcal {C}}_{S}(A)\geq {\mathcal {C}}_{S}(B)}$. Speciálisan, ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{S}(\emptyset )={\mathcal {C}}_{S}(Z(S))=S}$.

További rokon fogalmak és tulajdonságok

• A divízióalgebrákban a szorzásnak nem kell asszociatívnak lennie. Minden ferdetest divízióalgebra a centruma felett. Megfordítva, egy K test feletti ${\displaystyle (D,+,\cdot ,0,1)}$ divízióalgebra pontosan akkor ferdetest, ha ${\displaystyle (D\setminus \{0\},\cdot ,1)}$ asszociatív, és csoportot alkot. Ekkor K a centrumnak, mint testnek részteste, ${\displaystyle K\leq Z(D).}$
• Minden ferdetest majdnemtest, és megfordítva, egy majdnemtest pontosan akkor ferdetest, ha mindkét oldalról disztributív.
• Majdnemtestet kapunk, ha Cohn definíciójából elhagyjuk a ${\displaystyle \sigma }$ rákövetkező függvényt.
• Minden ferdetest geometriai értelemben féltest, és alternatív test. Megfordítva, egy alternatív test akkor és csak akkor ferdetest, ha a szorzása asszociatív.
• Egy egységelemes gyűrű akkor és csak akkor ferdetest, ha minden nullától különböző eleme jobbról és balról invertálható. A két inverz egyértelműsége és egyenlősége már a gyűrű definíciójából következik.

Nevezetes tételek

A Wedderburn-tétel szerint minden véges ferdetest kommutatív.^[4]

Frobenius tétele azt mondja ki, hogy a valós számok teste fölött csak három olyan véges dimenziós asszociatív algebra van, amelyben minden nemnulla elemnek van multiplikatív inverze: maga a valós számok teste, a komplex számok teste és a kvaterniók ferdeteste.

Konstrukciók

Valamennyi test egyben ferdetest is. A nemkommutatív ferdetestek közül talán a legismertebb a kvaterniók által alkotott ferdetest. Wedderburn tétele miatt minden ilyen ferdetest végtelen.

A kommutatív testek algebrai vagy transzcendens bővítésekkel előállnak prímtestükből. A ferdetestekre nem ismert hasonló kanonikus konstrukció. A legtöbb módszer egy alkalmas nullosztómentes gyűrűt ágyaz be a bal vagy a jobb hányadostestébe. Egy viszonylag egyszerű feltételt Øystein Ore talált az alkalmas gyűrűkre; ez az Ore-feltétel.

A végtelen dimenziós bővítések analóg módon építhetők a Hilbert által megadott ferdetestekre:^[5]

1. Legyen K test, vagy egy ismert ferdetest
2. ${\displaystyle K(u)}$ az u határozatlanú racionális függvénytest
3. Legyen ${\displaystyle K(u)}$-n ${\displaystyle \alpha :f(u)\mapsto f(u^{2})}$ egy gyűrűendomorfia
4. Egy új v határozatlannal képezzük a nem kommutatív ${\displaystyle K(u)[v;\alpha ]}$ polinomgyűrűt, ahol az uv szorzatot a ${\displaystyle u\cdot v=v\cdot \alpha (u)}$ felcserélési szabály határozza meg.
5. A ${\displaystyle K(u)[v;\alpha ]}$ nullosztómentes Ore-gyűrű jobb hányadosteste ${\displaystyle H=K(u)(v;\alpha )}$, ami a tulajdonképpeni Hilbert-test.^[5]

A ${\displaystyle C=Z(K)}$ centrum a Hilbert-testnek is centruma, továbbá ${\displaystyle [H:C]=\mathop {\mathrm {dim} } _{C}(H)=\infty }$. Ha K formálisan valós test, akkor H rendezhető az algebrai műveletekkel összeegyeztethető módon.

A konstrukció általánosítása a fent definiált ${\displaystyle \alpha }$ helyett egy másik gyűrűendomorfiát is választhat.

Története

1843-ban Sir William Rowan Hamilton konstruálta az első nemkommutatív ferdetestet, a kvaterniókat. A háromdimenziós tér vektorait próbálta ahhoz hasonlóan ábrázolni, ahogy a síkvektorokat ábrázolják a komplex számok. Az általa és követői által erre épített geometriai kalkulus hozzájárult a vektoranalízis kifejlődéséhez. A centrumuk fölött véges dimenziós C-vektortereket alkotó ferdetestek az 1920-as és az 1930-as évek kedvelt témái voltak. Az 1970-es években kiújult irántuk az érdeklődés.^[6]

David Hilbert 1903-ban konstruálta az első olyan ferdetestet, amely végtelen dimenziós a centruma fölött. Keresett egy modellt, ami a formálisan valós testekkel analóg módon lehetővé teszi a műveletekkel összhangban levő rendezést a ferdetestekben. Egy ilyen ferdetest fölött sikerült neki definiálni egy affin geometriát, amely megfelelt az általa definiált euklideszi axiómarendszer néhány axiómájának.

1931-ben Øystein Ore a róla elnevezett és a cikkben tárgyalt konstrukciójával foglalkozott.

Jegyzetek

Források

1. L. A. Skornyakov: Skew-field. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (Online).
2. P. M. Cohn, Gian-Carlo Rota (Hrsg.): Skew Fields. Theory of general division rings (= Encyclopedia of Mathematics and its applications. Vol. 57). 1. Auflage. Press Syndicate of the University of Cambridge, Cambridge 1995, ISBN 0-521-43217-0.
3. John Dauns, Karl H. Hofmann, Rudolf Wille (Hrsg.): A Concrete Approach to Division Rings (= Research and Education in Mathematics. Vol. 2). 1. Auflage. Heldermann Verlag, Berlin 1982, ISBN 3-88538-202-4 (Inhaltsverzeichnis, abgerufen am 23. März 2012).
4. Nathan Jacobson: Finite-dimensional division algebras over fields. 2. korrigierte Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg u. a. 2010, ISBN 978-3-540-57029-5.
5. Günther Pickert: Einführung in die Höhere Algebra (= Studia mathematica. 7). 1. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1951.