Egyenletes konvergencia

A matematikai analízisben az egyenletes konvergencia egy, a pontonkénti konvergenciánál erősebb konvergenciafajta. Függvények egy {f_n} sorozata egyenletesen tart az f határfüggvényhez, ha f_n(x) konvergenciasebessége nem függ x-től.

A fogalom azért fontos, mert megőrzi az f_n függvények egyes tulajdonságait, például a folytonosságot és a Riemann-integrálhatóságot, míg a pontonkénti konvergencia ezt nem teszi meg.

Definíció

Legyen ${\displaystyle S}$ halmaz, és ${\displaystyle f_{n}:S\to \mathbb {R} }$ függvény minden n-re. Azt mondjuk, hogy az ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ sorozat egyenletesen tart az ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ függvényhez, ha minden ${\displaystyle \epsilon >0}$-hoz van egy ${\displaystyle N}$ természetes szám, hogy minden ${\displaystyle x\in S}$ helyre és minden ${\displaystyle n\geq N}$ sorszámra ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$.

Tekintsük az ${\displaystyle a_{n}=\sup _{x}|f_{n}(x)-f(x)|}$ sorozatot, ahol a szuprémum az összes ${\displaystyle x\in S}$-re megy. Ekkor ${\displaystyle f_{n}}$ egyenletesen tart ${\displaystyle f}$-hez, ha ${\displaystyle a_{n}}$ tart nullához.

Az ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ sorozat lokálisan egyenletesen konvergens, és tart ${\displaystyle f}$-hez, ha egy ${\displaystyle S}$ metrikus tér minden ${\displaystyle x}$ eleméhez létezik ${\displaystyle r>0}$, hogy ${\displaystyle (f_{n})}$ egyenletesen konvergens ${\displaystyle B(x,r)\cap S}$-ben.

Megjegyzés

Megjegyzendő, hogy a definícióban a „létezik olyan N” és a „minden x” nem felcserélhető. Ennek felcserélésével a pontonkénti konvergenciához jutunk vissza. Ez a következőképpen definiálható: (f_n) pontonként konvergens, és határfüggvénye f : S → R, ha minden x ∈ S-re és minden ε > 0-ra van egy N szám, hogy minden n ≥ N-re f_n(x) − f(x)| < ε. Itt az x-re és az ε-ra vonatkozó kvantorok sorrendje közömbös, csak az N-re vonatkozó és az x-re vonatkozó sorrendje nem mindegy.

Egyenletes konvergencia esetén az N csak ε-tól függhet, míg pontonkénti konvergencia esetén x-től is. Emiatt nyilvánvaló, hogy az egyenletes konvergenciából következik a pontonkénti. Fordítva ez nem igaz. Legyen S a [0,1] intervallum, és legyen f_n(x) = xⁿ minden n természetes számra. Ekkor az (f_n) sorozat pontonként tart f-hez, ahol f(x) = 0, ha x < 1, és f(1) = 1. Ez nem egyenletes konvergencia; ugyanis például ε = 1/4-hez nincs a definícióban megkövetelt N. Ugyanis n-re megoldva n > log ε / log x. Ez függ x-től, és ε-tól is, tehát nem lehet olyan N, ami nem függ x-től.

Tulajdonságok

• Minden egyenletesen konvergens sorozat lokálisan egyenletesen konvergens is.
• Minden lokálisan egyenletesen konvergens sorozat kompakt módon konvergens.
• Lokálisan kompakt terekben a kompakt módon konvergens sorozatok lokálisan egyenletesen konvergensek.
• Metrikus tereken folytonos függvények sorozatára, ha a képtér, mint metrikus tér teljes, akkor és csak akkor egyenletesen konvergens, ha egyenletesen Cauchy.
• Ha S kompakt, és ${\displaystyle (f_{n})}$ folytonos függvények monoton növő sorozata (${\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}$ minden n-re), és pontonkénti határfüggvénye ${\displaystyle f}$ szintén folytonos, akkor Dini tétele miatt egyenletesen konvergens.
• Ha ${\displaystyle S}$ kompakt intervallum, és ${\displaystyle (f_{n})}$ egyenletesen folytonos sorozat, ami pontonként konvergens, akkor az egyenletesen is konvergens.

Példák

Tekintsük egy X topologikus tér valós vagy komplex értékű korlátos függvényeit a szuprémum normával. Ekkor az egyenletes konvergencia megegyezik a pontonkénti konvergenciával.

Az ${\displaystyle f_{n}:[0,1]\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle f_{n}(x):=x^{n}}$ sorozat pontonként konvergens, de nem egyenletesen konvergens:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)={\begin{cases}0,&x\in [0,1)\\1,&x=1.\end{cases}}}$

Ebből látható, hogy a pontonkénti konvergencia nem őrzi meg a differenciálhatóságot, de még a folytonosságot sem. Míg a sorozat minden eleme akárhányszor differenciálható, határfüggvénye még csak nem is folytonos.

Az exponenciális függvény sorfejtése a Weierstass-féle M-teszttel megmutathatóan egyenletesen konvergens ${\displaystyle \mathbb {C} }$ minden korlátos részhalmazán.

A sor:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

A korlátos részhalmazok lefedhetők egy origó közepű körlappal, aminek sugarát jelölje R. A Weierstrass-féle M-teszthez találni kell egy ${\displaystyle M_{n}}$ felső korlátot a sor termjeire, ami nem függ a helytől.

${\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq M_{n},\forall z\in D_{R}.}$

De ez triviális:

${\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq {\frac {\left|z\right|^{n}}{n!}}\leq {\frac {R^{n}}{n!}}}$

${\displaystyle \Rightarrow M_{n}={\frac {R^{n}}{n!}}.}$

Ha ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}}$ konvergens, akkor az eredeti sorozat egyenletesen konvergens.

A hányadoskritériumot alkalmazva:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {M_{n+1}}{M_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R^{n+1}}{R^{n}}}{\frac {n!}{(n+1)!}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R}{n+1}}=0}$

ami azt jelenti, hogy az ${\displaystyle M_{n}}$ sorozat konvergens. Így az eredeti sorozat minden ${\displaystyle z\in D_{R}}$-re egyenletesen konvergens, és mivel ${\displaystyle S\subset D_{R}}$, S-en is egyenletesen konvergens.

Alkalmazások

Folytonosság

Ha ${\displaystyle I}$ intervallum, vagy topologikus tér, akkor beszélhetünk ${\displaystyle f_{n}}$ és ${\displaystyle f}$ folytonosságáról. Az egyenletes konvergencia tétele azt állítja, hogy ha az ${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ sorozat tagjai folytonos függvények az ${\displaystyle I}$ intervallumon, és egyenletesen konvergálnak ${\displaystyle f}$-hez ${\displaystyle I}$-n, akkor ${\displaystyle f}$ folytonos ${\displaystyle I}$-n.

A tétel bizonyítása az ${\displaystyle \epsilon /3}$ fogásán alapul. Az ${\displaystyle <\epsilon }$ egyenlőtlenséghez a folytonosság és az egyenletes konvergencia definíciójából három egyenlőtlenséget vezet be, és a háromszög-egyenlőtlenség alapján kombinálja őket. Ez eredményezi a kívánt egyenlőtlenséget ${\displaystyle \epsilon }$-ra.

Ez a tétel azért fontos, mivel a pontonkénti konvergencia nem biztosítja a határfüggvény folytonosságát.

Pontosabban, a tétel arról szól, hogy az egyenletesen folytonos függvények egyenletes határfüggvénye egyenletesen folytonos. Lokálisan kompakt térben a folytonosság ekvivalens a lokális egyenletes folytonossággal, így a folytonos függvények egyenletes határfüggvénye folytonos.

Differenciálhatóság

Ha ${\displaystyle \scriptstyle S}$ intervallum, és az ${\displaystyle \scriptstyle f_{n}}$ függvények mind differenciálhatók, és tartanak az ${\displaystyle \scriptstyle f}$ függvényhez, gyakran kívánatos, hogy az ${\displaystyle \scriptstyle f_{n}}$ függvények deriváltjai tartsanak ${\displaystyle \scriptstyle f}$ deriváltjához. Ez általában nem teljesül, még egyenletes konvergencia esetén sem. Még ez sem biztosítja, hogy a határfüggvény differenciálható legyen, és ha differenciálható is, akkor sem biztos, hogy teljesül rá a fent megkívánt tulajdonság.

Legyen például ${\displaystyle \scriptstyle f_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sin(nx)}$. Ez tart az azonosan nullához, de ez nem teljesül a deriváltjaira. Ehhez a deriváltaknak kell egyenletesen konvergálniuk, plusz az eredeti függvényeknek legalább egy pontban konvergálniuk. Maga az állítás így szól:^[1]

Tegyük fel, hogy ${\displaystyle \scriptstyle {f_{n}}}$ függvények sorozata, ezek mindegyike differenciálható ${\displaystyle \scriptstyle [a,b]}$-n, és hogy egy ${\displaystyle \scriptstyle x_{0}\in >\scriptstyle [a,b]}$ pontban ${\displaystyle \scriptstyle {f_{n}(x_{0})}}$ konvergens. Ha ${\displaystyle \scriptstyle f'_{n}}$ egyenletesen konvergens ezen az ${\displaystyle \scriptstyle [a,b]}$-n, akkor ${\displaystyle \scriptstyle {f_{n}}}$ egyenletesen konvergál egy ${\displaystyle \scriptstyle f}$ függvényhez, és ${\displaystyle \scriptstyle f'(x)=\lim _{n\to \infty }f'_{n}(x)}$ minden ${\displaystyle \scriptstyle x\in [a,b]}$-re.

Integrálhatóság

Hasonlóan kívánatos tulajdonság, hogy az integrálható függvényekből álló függvénysorozat integráljai is a függvénysorozat határfüggvényének integráljához tartsanak. A Riemann-integrálra az egyenletes konvergencia teljesíti ezt:

Ha ${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$ Riemann-integrálható függvények egy sorozata az I kompakt intervallumon, ami egyenletesen tart az f határfüggvényhez, akkor f Riemann-integrálható, és Riemann-integrálja

${\displaystyle \int _{I}f=\lim _{n\to \infty }\int _{I}f_{n}.}$

Valójában ugyanez az alsó és a felső integrálra is teljesül. Ez azért következik, mert ha n elég nagy, akkor ${\displaystyle f_{n}}$ grafikonja f grafikonjától ε távolságon belül fut, így ${\displaystyle f_{n}}$ alsó és felső közelítő összegei ${\displaystyle \varepsilon |I|}$ távolságon belül vannak f alsó és felső közelítő összegeitől.

A Riemann-integrál helyett a Lebesgue-integrálra elég pontonkénti konvergenciát feltenni.

Analitikusság

Ha a komplex sík egy S tartományában analitikus függvények egyenletesen konvergens, akkor határfüggvényük is analitikus S-ben. EZ is azt bizonyítja, hogy a komplex függvények jobban viselkednek, mint a valósak, mivel valós analitikus függvények egy egyenletesen sorozatának határfüggvényének még csak differenciálhatónak sem kell lennie.

Sorok

Azt mondjuk, hogy ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ konvergenciája:

1. pontonkénti E-n, ha s_n pontonként konvergál, ahol s_n(x) az n-edik részösszeg
2. egyenletes E-n, ha s_n(x) egyenletesen konvergens
3. abszolút, ha ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|f_{n}|}$ minden x-re konvergál E-ben

Ezzel a definícióval a következő eredményre juthatunk:

Tétel: Legyen x₀ pont E-ben, és legyen minden f_n folytonos x₀-ban. Ha f = ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ egyenletesen konvergál E-n, akkor f folytonos x₀-ban.

Tegyük fel, hogy E = [a, b], és ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ egyenletesen konvergens E-n. Ekkor f integrálható E-n, és f_n integráljának sora az f_n sorának integráljával. Ez a tagonkénti integrálás elve.

Majdnem egyenletes konvergencia

Ha a függvények egy mértéktéren vannak értelmezve, akkor egy hasonló fogalom értelmezhető. Azt mondjuk, hogy az ${\displaystyle (f_{n})}$ függvények egy sorozata majdnem egyenletesen konvergens E-n, ha minden ${\displaystyle \delta >0}$ számhoz van ${\displaystyle E_{\delta }}$ mérhető halmaz, aminek mérete kisebb, mint ${\displaystyle \delta }$, hogy az ${\displaystyle (f_{n})}$ függvények egyenletesen konvergensek ${\displaystyle E\setminus E_{\delta }}$-on. Más szavakkal, a majdnem egyenletes konvergencia azt jelenti, hogy egy akármilyen kicsi halmaz kivételével a konvergencia egyenletes.

Meg kell azt jegyezni, hogy a majdnem egyenletes konvergencia nem ugyanaz, mint a majdnem mindenütt való egyenletes konvergencia.

Egorov tétele szerint, ha függvények egy sorozata egy véges mértéktéren pontonként majdnem mindenütt konvergens, ugyanitt majdnem egyenletesen is konvergens.

A majdnem egyenletes konvergenciából következik a majdnem mindenütt konvergencia és a mérték szerinti konvergencia.

Általánosítások

A definíció közvetlenül kiterjeszthető S → M függvényekre is, ahol (M, d) metrikus tér. Itt |f_n(x) − f(x)| helyettesíthető d(f_n(x), f(x))-szel.

A legáltalánosabb kiterjesztés függvények hálójára vonatkozik, amely függvények uniform térbe képeznek.

A definíció egyszerűsíthető hiperreális környezetben. Ekkor egy ${\displaystyle f_{n}}$ sorozat egyenletesen konvergens az f* tartományon, és határfüggvénye f, ha minden x-re és minden végtelen n-re ${\displaystyle f_{n}^{*}(x)}$ végtelenül közel van ${\displaystyle f^{*}(x)}$-hoz.

Jegyzetek

Források

• Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
• G. H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148–156 (1918)
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5–10 (Paperback); ISBN 0-387-19374-X
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw–Hill, 1976.
• Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.
• William Wade, An Introduction to Analysis , 3rd ed., Pearson, 2005

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben az Uniform convergence című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.