Test de primalité de Fermat

Si le test de Fermat échoue, alors le nombre est composé. Si le test réussit, il y a de fortes chances que le nombre soit premier (illustration inspirée de ^[1], p. 30).

En algorithmique, le test de primalité de Fermat est un test de primalité probabiliste basé sur le petit théorème de Fermat. Il est de type Monte-Carlo : s'il détecte qu'un nombre est composé alors il a raison ; en revanche, il peut se tromper s'il prétend que le nombre est premier.

Petit théorème de Fermat

Article détaillé : Petit théorème de Fermat.

Le petit théorème de Fermat s'énonce en termes de congruence sur les entiers^[1] :

Théorème — si p est un nombre premier alors pour tout $1\leq a<p$ , $a^{p-1}\equiv 1{\bmod {p}}$ (i.e. $a^{p-1}-1$ est divisible par p).

La réciproque du théorème est vraie car si p n'est pas premier, un diviseur non trivial a de p, plus généralement un a non premier avec p, n'est pas inversible modulo p, donc ne peut a fortiori avoir une puissance congrue à 1 modulo p^[2]. Cependant les témoins de non primalité réellement apportés par le théorème de Fermat sont les a premiers avec p tels que $a^{p-1}\not \equiv 1{\bmod {p}}$ ^[2].

Si on fixe a, il se peut que $a^{p-1}\equiv 1{\bmod {p}}$ sans que p ne soit premier ; un tel nombre a est nécessairement premier avec p. Le nombre p est dit alors pseudo-premier de Fermat de base a. Un nombre p qui est pseudo-premier pour toute base a telle que a est premier avec p, est appelé nombre de Carmichael (on peut se restreindre à 1 < a < p). Les nombres de Carmichael sont « rares » mais il en existe une infinité.

Une conséquence du petit théorème de Fermat est que, lorsque $p$ est premier, $a^{p}\equiv a{\bmod {p}}$ pour tout entier a. Les nombres de Carmichael sont aussi les nombres composés vérifiant $a^{p}\equiv a{\bmod {p}}$ pour tout a (on peut se restreindre à 1 < a < p).

Test de primalité

Le test de primalité de Fermat repose sur l'idée suivante : si p est composé, alors il est peu probable que a^p–1 soit congru à 1 modulo p pour une valeur arbitraire de a. Voici un pseudo-code pour le test de Fermat, comme présenté par Dasgupta et al.^[1] :

fonction testPrimaliteFermat(N)
     choisir un entier positif a < N au hasard
     si a^N-1 ≡ 1 mod N alors
             renvoyer oui (N est probablement premier)
     sinon
             renvoyer non (N est composé)

Le calcul de a^N-1 se fait avec un algorithme d'exponentiation modulaire. Cormen et al. (voir p. 889 de ^[3]) ne donne l'algorithme que pour a = 2 et appelle pseudo-premier de base 2 un nombre N composé qui passe le test suivant :

fonction testPrimaliteFermat2(N)
     si 2^N-1 ≡ 1 mod N alors
             renvoyer oui (N est probablement premier)
     sinon
             renvoyer non (N est composé)

Taux d'erreur

Pour le test testPrimaliteFermat2 (uniquement avec a = 2), il n'existe que 22 valeurs de N inférieures à 10000 pour lesquelles le test se trompe. Les premières valeurs sont 341, 561, 645 et 1105 (A001567, voir p. 890 dans ^[3]). La probabilité que cet algorithme fasse une erreur sur un entier N tend vers 0 quand le nombre de bits de N tend vers +∞ (voir p. 890 dans ^[3]). Pomerance a étudié une estimation précise des nombres pseudo-premiers de Fermat^[4], que Cormen et al. (voir p. 890 dans ^[3]) résume par :

un nombre de 512 bits déclaré premier par l'algorithme avec a = 2, a 1 chance sur 10²⁰ de ne pas être premier (i.e. d'être pseudo-premier de Fermat de base 2) ;
un nombre de 1024 bits déclaré premier par l'algorithme avec a = 2 a 1 chance sur 10⁴¹ de ne pas être premier (i.e. d'être pseudo-premier de Fermat de base 2).

Pour le test testPrimaliteFermat, si un nombre N qui n'est pas un Nombre de Carmichael échoue au test de Fermat pour une certaine valeur de a, alors il échoue pour au moins la moitié des choix de a (cf. p. 26 dans ^[1]). Pour le voir, considérons l'ensemble B des valeurs de a qui n'échouent pas, i.e. $B=\{a\mid a^{N-1}\equiv 1\mod N\}$ . C'est un sous-groupe strict du groupe multiplicatif $(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )^{\times }$ (car N n'est pas un nombre de Carmichael). Par le théorème de Lagrange, $|B|\leq {\frac {\varphi (N)}{2}}\leq {\frac {N-1}{2}}$ (où $\varphi$ désigne l'Indicatrice d'Euler). Ainsi, en itérant k fois le test de Fermat de la façon suivante, la probabilité de retourner "oui" si N est composé est plus petite que 1/2^k.

fonction testPrimaliteFermatItere(N)
     choisir k entiers positifs a₁, ... a_k < N au hasard
     si a_i^N-1 ≡ 1 mod N pour tout i = 1, ..., k alors
             renvoyer oui (N est probablement premier)
     sinon
             renvoyer non (N est composé)

Génération de nombres premiers

Dasgupta et al. (cf. p. 28 dans ^[1]) argumente le fait d'utiliser un test de primalité pour générer des nombres premiers. L'algorithme fonctionne comme suit :

Choisir un nombre N de n bits aléatoirement ;
Lancer un test de primalité
Si le test réussit, afficher N sinon recommencer le processus.

A chaque itération, il y a 1/n chances de s'arrêter. Ainsi, la procédure s'arrête en O(n) étapes. Selon Dasgupta et al. (cf. p. 30 dans ^[1]), le test de Fermat avec a = 2 permet de générer des nombres premiers, avec une erreur de 10^-5 pour des nombres N < 25 × 10⁹.

Test PGP

Le logiciel de chiffrement PGP (Pretty Good Privacy) tire profit^{[réf. nécessaire]} de cette propriété du théorème pour examiner si les grands nombres aléatoires qu'il choisit sont premiers. Il examine les valeurs que nous appellerons x en utilisant quatre valeurs de a (appelées témoins) en employant la formule ci-dessus. Ces quatre valeurs sont 2, 3, 5 et 7, les quatre premiers nombres premiers.

1\equiv 2^{x-1}\equiv 3^{x-1}\equiv 5^{x-1}\equiv 7^{x-1}{\bmod {x}}

, alors nous savons que le nombre x est probablement premier.

Si l'une quelconque de ces équations donne une valeur autre que 1, alors x est de façon certaine composé. Utiliser des témoins supplémentaires diminue la chance qu'un nombre composé x soit considéré premier, bien que très peu de grands nombres puissent duper les 4 témoins.

Histoire

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Voir aussi

Test de primalité de Miller-Rabin

Notes et références

↑ ^{a b c d e et f} (en) Sanjoy Dasgupta, Christos Papadimitriou et Umesh Vazirani, Algorithms, McGraw-Hill, 2008
↑ ^{a et b} Demazure 2008, p. 66-67.
↑ ^{a b c et d} Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, et Clifford Stein, Introduction à l'algorithmique, 1176 p., Section 31.2
↑ (en) Carl Pomerance, « On the distribution of pseudoprimes », Mathematics of computation,‎ 1981 (lire en ligne)