Statistique d'ordre

Cet article est une ébauche concernant les probabilités et la statistique.

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Calcul via la fonction de répartition

La fonction de répartition de la k-ème statistique d'ordre est

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(X_{(k)}\leq x\right)&{}=F_{X_{(k)}}(x)\quad =\quad \mathbb {P} (\mathrm {au} \ \mathrm {moins} \ k\ \mathrm {des} \ n\ X\ \mathrm {sont} \ \leq x)\\&=\sum _{j=k}^{n}{n \choose j}\mathbb {P} (X_{1}\leq x)^{j}(1-\mathbb {P} (X_{1}\leq x))^{n-j}\\&=\sum _{j=k}^{n}{n \choose j}F(x)^{j}(1-F(x))^{n-j}.\end{aligned}}}$

Autrement dit, le nombre d'éléments de l'échantillon inférieurs à x suit une loi binomiale de paramètres n et F(x), puisqu'il s'agit là de n expériences indépendantes, possédant deux issues : « être inférieur à x » et « être supérieur à x », la première des deux issues ayant pour probabilité F(x), et la deuxième issue ayant pour probabilité 1-F(x). En dérivant, on trouve une somme télescopique qui donne la densité :

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{(k)}}(x)&{}={d \over dx}F_{X_{(k)}}(x)\\&{}=\sum _{j=k}^{n}{n \choose j}\left(jF(x)^{j-1}f(x)(1-F(x))^{n-j}+F(x)^{j}(n-j)(1-F(x))^{n-j-1}(-f(x))\right)\\&{}={n \choose k}\,kF(x)^{k-1}f(x)(1-F(x))^{n-k}\ +\ \sum _{j=k+1}^{n}{n \choose j}jF(x)^{j-1}f(x)(1-F(x))^{n-j}\ -\ \sum _{j=k}^{n-1}(n-j){n \choose j}\ F(x)^{j}f(x)(1-F(x))^{n-j-1}\\&{}={n \choose k}\,kF(x)^{k-1}f(x)(1-F(x))^{n-k}\ +\ \sum _{j=k+1}^{n}{n \choose j}jF(x)^{j-1}f(x)(1-F(x))^{n-j}\ -\ \sum _{j=k+1}^{n}(n-j+1){n \choose j-1}\ F(x)^{j-1}f(x)(1-F(x))^{n-j}\\&{}={n \choose k}\,kF(x)^{k-1}f(x)(1-F(x))^{n-k}\ +\ \sum _{j=k+1}^{n}\left({n \choose j}j-(n-j+1){n \choose j-1}\right)\ F(x)^{j-1}f(x)(1-F(x))^{n-j}\\&{}={n \choose k}\,kF(x)^{k-1}f(x)(1-F(x))^{n-k},\end{aligned}}}$

car

${\displaystyle {n \choose j}j\ =\ {\frac {n!\,j}{j!\,(n-j)!}}\ =\ {\frac {n!\,(n-j+1)}{(j-1)!\,(n-j+1)!}}\ =\ (n-j+1){n \choose j-1}.}$

Finalement :

${\displaystyle f_{X_{(k)}}(x)={n! \over (k-1)!(n-k)!}F(x)^{k-1}(1-F(x))^{n-k}f(x).}$

Calcul direct

Lors d'une série de n expériences aléatoires indépendantes et identiques ayant chacune trois issues possibles, disons a, b, et c, de probabilités respectives p_a, p_b, p_c, la loi jointe des nombres d'issues N_a (resp. N_b, N_c ) de type a (resp. b, c) est une loi multinomiale de paramètres n et p=(p_a, p_b, p_c ), décrite par :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left((N_{a},N_{b},N_{c})=(k_{a},k_{b},k_{c})\right)&={n \choose k_{a},k_{b},k_{c}}\ p_{a}^{k_{a}}\,p_{b}^{k_{b}}\,p_{c}^{k_{c}}\ 1\!\!1_{k_{a}+k_{b}+k_{c}=n}\\&={\frac {n!}{k_{a}!\,k_{b}!\,k_{c}!}}\ p_{a}^{k_{a}}\,p_{b}^{k_{b}}\,p_{c}^{k_{c}}\ 1\!\!1_{k_{a}+k_{b}+k_{c}=n}.\end{aligned}}}$

Ainsi, la densité de X_(k) est obtenue en reconnaissant une série de n expériences aléatoires indépendantes et identiques ayant chacune trois issues possibles, X_i ≤ x, x<X_i ≤ x+dx, et X_i > x+dx'', de probabilités respectives F(x), f(x) dx, et 1-F(x)-f(x)dx. Ainsi,

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{(k)}}(x)\ dx&{}=\mathbb {P} \left(X_{(k)}\in [x,\,x+dx]\right)\\&{}\mathbb {P} \left({\text{ parmi les }}n\ X_{i},{\text{exactement}}\ k-1\ {\text{sont}}\ \leq x,{\text{exactement un des }}X_{i}\in [x,\,x+dx],{\text{et les autres sont}}\ \geq x+dx\right)\\&={\frac {n!}{(k-1)!\,1!\,(n-k)!}}\ F(x)^{k-1}\,f(x)\,dx\,(1-F(x))^{n-k}\\&={\frac {n!}{(k-1)!\,(n-k)!}}\ F(x)^{k-1}\,(1-F(x))^{n-k}\,f(x)\,dx.\end{aligned}}}$

Il suffit de démontrer que pour toute fonction φ mesurable, bornée et positive ou nulle,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} \left[\varphi (X_{(1)},X_{(2)},\dots ,X_{(n)})\right]&=\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (x_{(1)},x_{(2)},\dots ,x_{(n)})\,n!\ \left(\prod _{i=1}^{n}f(x_{(i)})\right)\ 1\!\!1_{x_{(1)}<x_{(2)}<\dots <x_{(n-1)}<x_{(n)}}dx_{(1)}\dots dx_{(n)}.\end{aligned}}}$

Mais, comme les X_i sont indépendants et possèdent des densités, on a:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\forall i\neq j,\ X_{i}\neq X_{j}\right)&=1.\end{aligned}}}$

Par conséquent, presque sûrement,

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (X_{(1)},X_{(2)},\dots ,X_{(n)})&=\ \sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\varphi (X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)},\dots ,X_{\sigma (n)})\ 1\!\!1_{X_{\sigma (1)}<X_{\sigma (2)}<\dots <X_{\sigma (n-1)}<X_{\sigma (n)}}.\end{aligned}}}$

Finalement :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} \left[\varphi (X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)},\dots ,X_{\sigma (n)})\,1\!\!1_{X_{\sigma (1)}<X_{\sigma (2)}<\dots <X_{\sigma (n)}}\right]&=\ \mathbb {E} \left[\varphi (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\,1\!\!1_{X_{1}<X_{2}<\dots <X_{n}}\right]\\&=\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\ \left(\prod _{i=1}^{n}f(x_{i})\right)\ 1\!\!1_{x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}}dx_{1}\dots dx_{n},\end{aligned}}}$

puisque ${\displaystyle (X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)},\dots ,X_{\sigma (n)})}$ et ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$ ont même densité ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}f(x_{i}).\ }$ La linéarité de l'espérance permet de conclure.