Nombre hyperparfait

En mathématiques, un nombre k-hyperparfait (quelquefois simplement appelé nombre hyperparfait) est un entier naturel n tel que

n=1+k(\sigma (n)-n-1),

où σ(n) est la somme de tous les diviseurs positifs de n. Les nombres parfaits sont donc les nombres 1-hyperparfaits.

Suites de nombres

Les premiers termes de la suite croissante des nombres k-hyperparfaits sont 6, 21, 28, 301, 325, 496, ... (suite A034897 de l'OEIS), les valeurs correspondantes de k étant 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... (suite A034898). Les premiers nombres k-hyperparfaits qui ne sont pas parfaits sont 21, 301, 325, 697, 1333, ... (suite A007592).

Table

La table suivante liste les premiers nombres k-hyperparfaits pour certaines valeurs de k, mis en regard avec le numéro de la suite des nombres k-hyperparfaits dans l'Encyclopédie électronique des suites entières :

k	OEIS	Quelques nombres k-hyperparfaits connus
1	A000396	6, 28, 496, 8128, 33550336, ...
2	A007593	21, 2133, 19521, 176661, 129127041, ...
3		325, ...
4		1950625, 1220640625, ...
6	A028499	301, 16513, 60110701, 1977225901, ...
10		159841, ...
11		10693, ...
12	A028500	697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, ...
18	A028501	1333, 1909, 2469601, 893748277, ...
19		51301, ...
30		3901, 28600321, ...
31		214273, ...
35		306181, ...
40		115788961, ...
48		26977, 9560844577, ...
59		1433701, ...
60		24601, ...
66		296341, ...
75		2924101, ...
78		486877, ...
91		5199013, ...
100		10509080401, ...
108		275833, ...
126		12161963773, ...
132		96361, 130153, 495529, ...
136		156276648817, ...
138		46727970517, 51886178401, ...
140		1118457481, ...
168		250321, ...
174		7744461466717, ...
180		12211188308281, ...
190		1167773821, ...
192		163201, 137008036993, ...
198		1564317613, ...
206		626946794653, 54114833564509, ...
222		348231627849277, ...
228		391854937, 102744892633, 3710434289467, ...
252		389593, 1218260233, ...
276		72315968283289, ...
282		8898807853477, ...
296		444574821937, ...
342		542413, 26199602893, ...
348		66239465233897, ...
350		140460782701, ...
360		23911458481, ...
366		808861, ...
372		2469439417, ...
396		8432772615433, ...
402		8942902453, 813535908179653, ...
408		1238906223697, ...
414		8062678298557, ...
430		124528653669661, ...
438		6287557453, ...
480		1324790832961, ...
522		723378252872773, 106049331638192773, ...
546		211125067071829, ...
570		1345711391461, 5810517340434661, ...
660		13786783637881, ...
672		142718568339485377, ...
684		154643791177, ...
774		8695993590900027, ...
810		5646270598021, ...
814		31571188513, ...
816		31571188513, ...
820		1119337766869561, ...
968		52335185632753, ...
972		289085338292617, ...
978		60246544949557, ...
1050		64169172901, ...
1410		80293806421, ...
2772	A028502	95295817, 124035913, ...
3918		61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, ...
9222		404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, ...
9828		432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, ...
14280		848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, ...
23730		2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, ...
31752	A034916	4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, ...
55848		15166641361, 44783952721, 67623550801, ...
67782		18407557741, 18444431149, 34939858669, ...
92568		50611924273, 64781493169, 84213367729, ...
100932		50969246953, 53192980777, 82145123113, ...

Propriétés

Si k > 1 est un entier naturel impair et p = (3k + 1)/2 etq = 3k + 4 sont des nombres premiers, alors p²q est k-hyperparfait ; Judson S. McCranie a conjecturé en 2000 que tous les nombres k-hyperparfaits pour k > 1 impair sont de cette forme, mais l'hypothèse n'a pas encore été démontrée. De plus, si p ≠ q sont des nombres premiers impairs et k un entier tel que k(p + q) = pq – 1, alors pq est k-hyperparfait.

Il est aussi possible de montrer que si k > 0 et p = k + 1 est premier, alors pour tout i > 1 tel que q = pⁱ – p + 1 est premier, n = p^{i – 1}q est k-hyperparfait. La table suivante liste les valeurs connues de k et les valeurs correspondantes de i pour lesquelles n est k-hyperparfait :

k	OEIS	Valeurs de i
16	A034922	11, 21, 127, 149, 469, ...
22		17, 61, 445, ...
28		33, 89, 101, ...
36		67, 95, 341, ...
42	A034923	4, 6, 42, 64, 65, ...
46	A034924	5, 11, 13, 53, 115, ...
52		21, 173, ...
58		11, 117, ...
72		21, 49, ...
88	A034925	9, 41, 51, 109, 483, ...
96		6, 11, 34, ...
100	A034926	3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, ...

Voir aussi

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Hyperperfect Number », sur MathWorld

Bibliographie

(en) Daniel Minoli et Robert Bear, « Hyperperfect Numbers », PME (Pi Mu Epsilon) Journal, Fall, University Oklahoma,‎ 1975, p. 153-157
(en) Daniel Minoli, « Sufficient Forms For Generalized Perfect Numbers », Ann. Fac. Sciences, Univ. Nation. Zaire, Section Mathem., vol. 4, n^o 2,‎ décembre 1978, p. 277-302
(en) Daniel Minoli, « Structural Issues For Hyperperfect Numbers », Fibonacci Quarterly, vol. 19, n^o 1,‎ février 1981, p. 6-14
(en) Daniel Minoli, « Issues In Non-Linear Hyperperfect Numbers », Math. Comp., vol. 34, n^o 150,‎ avril 1980, p. 639-645
(en) Daniel Minoli, « New Results For Hyperperfect Numbers », Abstracts AMS, vol. 1, n^o 6,‎ octobre 1980, p. 561
(en) Daniel Minoli et W. Nakamine, « Mersenne Numbers Rooted On 3 For Number Theoretic Transforms », IEEE International Conf. on Acoust., Speech and Signal Processing,‎ 1980
(en) Judson S. McCranie, « A Study of Hyperperfect Numbers », Journal of Integer Sequences, vol. 3,‎ 2000 (lire en ligne)

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hyperperfect number » (voir la liste des auteurs).

v · m Ensembles d'entiers sur la base de leur divisibilité
Formes de factorisation	Nombre premier Nombre composé Nombre puissant Entier sans facteur carré
Sommes de diviseurs	Nombre parfait Nombre presque parfait Nombre quasi parfait Nombre parfait multiple Nombre hémiparfait Nombre hyperparfait Nombre superparfait Nombre unitairement parfait Nombre semi-parfait Nombre semi-parfait primitif Nombre pratique Nombre abondant Nombre hautement abondant Nombre superabondant Nombre colossalement abondant Nombre déficient Nombre étrange Nombre intouchable
Nombreux diviseurs	Nombre hautement composé Nombre hautement composé supérieur
Autre	Nombres amicaux Nombre sociable Nombre solitaire Nombre sublime Nombre à moyenne harmonique entière Nombre frugal Nombre équidigital Nombre extravagant