Nombre de Demlo

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En mathématiques récréatives, un nombre de Demlo, aussi appelé merveilleux nombre de Demlo, a été défini par D. R. Kaprekar comme le carré d'un répunit. Ils portent le nom de la gare de Demlo, située à 50 km de Bombay, endroit où Kaprekar a commencé à les étudier^[1].

Les onze premiers nombres de Demlo en base 10 sont 1, 121, 12321, 1234321, … , 12345678987654321, 1234567900987654321 et 123456790120987654321^[2],[3].

Définition

Un nombre de Demlo en base ${\displaystyle b}$ est un nombre de la forme ${\displaystyle \left({\frac {b^{n}-1}{b-1}}\right)^{2}}$ pour ${\displaystyle n>0}$.

Si ${\displaystyle n<b}$, un tel nombre est (en base ${\displaystyle b}$) un nombre palindrome à ${\displaystyle 2n-1}$ chiffres et, plus précisément, de la forme

${\displaystyle nb^{n-1}+\sum _{i=1}^{n-1}(ib^{2n-i}+ib^{i-1})}$

c'est-à-dire que (lu de gauche à droite) ses ${\displaystyle n}$ premiers chiffres sont les ${\displaystyle n}$ premiers chiffres en base ${\displaystyle b}$ dans l'ordre croissant, et ses ${\displaystyle n}$ derniers chiffres sont les mêmes chiffres dans l'ordre inverse^[4].

Exemple : ${\displaystyle 1234321}$ est un nombre de Demlo car ${\displaystyle 1234321=1111^{2}=1111\times 1111}$.

Références

• Arithmétique et théorie des nombres
• Portail des mathématiques