Le moment d'un vecteur peut se définir par rapport à un point ou par rapport à un axe orienté. Le moment par rapport à un point est un vecteur, le moment par rapport à un axe est un scalaire. Les moments d'un vecteur vrai (ou vecteur polaire) sont des pseudovecteurs ou des pseudoscalaires, ceux d'un pseudovecteur sont des vecteurs vrais ou des scalaires vrais.
Définitions
- Le moment d'un vecteur vrai (ou vecteur polaire)
(de position M) par rapport à un point O est un pseudovecteur (ou vecteur axial) défini par le produit vectoriel :
.
- Le moment d'un vecteur vrai
(de position M) par rapport à un axe orienté Δ (de vecteur unitaire
) est un pseudoscalaire défini comme la projection de
sur l'axe, où O est un point quelconque de l'axe[a] :
.
- Le moment d'un pseudovecteur (ou vecteur axial)
(de position M) se définit de la même façon, par rapport à un point ou par rapport à un axe orienté :
(c'est un vecteur vrai),
(c'est un scalaire vrai).
Exemples
- Le moment cinétique est le moment de la quantité de mouvement :
.
- Le moment d'une force (
) intervient dans le théorème du moment cinétique. - Le moment magnétique d'un circuit électrique est, au facteur 1/2 près, l'intégrale du moment de l'élément de courant
:
.
- Le champ magnétique produit par un circuit électrique est, à un facteur constant près, l'intégrale du moment de l'élément de courant
divisé par le cube de la distance (loi de Biot et Savart) :
.
Notes et références
- ↑ Le calcul indiqué donne le même résultat quel que soit le point choisi (sur l'axe). En effet, si O' est un autre point de l'axe :
![{\displaystyle {\hat {u}}\cdot {\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} '}}}({\vec {V}})-{\hat {u}}\cdot {\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} }}}({\vec {V}})={\hat {u}}\cdot \left({\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} '}}}({\vec {V}})-{\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} }}}({\vec {V}})\right)={\hat {u}}\cdot \left({\overrightarrow {\mathrm {O'M} }}\wedge {\vec {V}}-{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\wedge {\vec {V}}\right)={\hat {u}}\cdot \left[\left({\overrightarrow {\mathrm {O'M} }}-{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\right)\wedge {\vec {V}}\right]={\hat {u}}\cdot \left({\overrightarrow {\mathrm {O'O} }}\wedge {\vec {V}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/159aa912545c5dd0f9133128c57b65c825efee63)
puisque les vecteurs
et
sont colinéaires (une des propriétés du produit mixte).
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