Matrice conjuguée

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En algèbre linéaire, la matrice conjuguée d'une matrice ${\displaystyle A}$ à coefficients complexes est la matrice ${\displaystyle {\overline {A}}}$ constituée des éléments de ${\displaystyle A}$ conjugués.

Plus précisément, si on note ${\displaystyle a_{i,j}}$ et ${\displaystyle b_{i,j}}$ les coefficients respectifs de ${\displaystyle A}$ et de ${\displaystyle {\overline {A}}}$ alors

${\displaystyle b_{i,j}={\overline {a_{i,j}}}}$.

Par exemple si

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3+i&5\\2-2i&i\end{pmatrix}}}$

alors ${\displaystyle {\bar {A}}={\begin{pmatrix}3-i&5\\2+2i&-i\end{pmatrix}}}$.

Le concept de matrice conjuguée ne doit pas être confondu avec le concept de conjugaison dans un groupe général linéaire, on parle dans ce cas de matrices semblables.

Propriétés

On note ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ deux matrices quelconques de ${\displaystyle M_{m,n}(\mathbb {C} )}$ et ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ un scalaire.

• L'application « conjugaison » est antilinéaire :

  ${\displaystyle {\overline {A+B}}={\overline {A}}+{\overline {B}},\quad {\overline {\alpha A}}={\overline {\alpha }}{\overline {A}}}$.

• La matrice conjuguée de ${\displaystyle {\overline {A}}}$ est ${\displaystyle A}$. Par conséquent, l'application « conjugaison » de ${\displaystyle \mathrm {M} _{m,n}(K)}$ dans lui-même est une bijection et une involution.
• La matrice conjuguée du produit de deux matrices est égale au produit des matrices conjuguées de ces deux matrices:

  ${\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {A}}\,{\overline {B}}}$.

• Si une matrice carrée ${\displaystyle A}$ est inversible, alors sa matrice conjuguée l'est aussi, et la matrice conjuguée de l'inverse de ${\displaystyle A}$ est égale à l'inverse de sa matrice conjuguée :

  ${\displaystyle {\overline {A^{-1}}}=\left({\overline {A}}\right)^{-1}}$.

Articles connexes

• Espace vectoriel conjugué

• Portail de l’algèbre