Coordonnées de Painlevé-Gullstrand

Les coordonnées de Painlevé-Gullstrand sont un système de coordonnées d'espace-temps utilisées pour étudier la métrique de Schwarzschild.

Coordonnées

Les coordonnées de Painlevé-Gullstrand sont notées cT, r, θ, φ[1].

La coordonnées de temps (T) est le temps propre mesuré par un observateur en chute libre radiale depuis l'infini et sans vitesse initiale[2]. Elle est reliée à la coordonnée de temps (t) de Schwarzschild par[3] :

c T = c t + 2 R S [ r R S + 1 2 ln ⁡ ( r R S − 1 r R S + 1 ) ] {\displaystyle cT=ct+2R_{\mathrm {S} }\left[{\sqrt {\frac {r}{R_{\mathrm {S} }}}}+{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {{\sqrt {\frac {r}{R_{\mathrm {S} }}}}-1}{{\sqrt {\frac {r}{R_{\mathrm {S} }}}}+1}}\right)\right]} ,

où :

  • c {\displaystyle c} est la vitesse de la lumière dans le vide ;
  • R S = 2 G M c 2 {\displaystyle R_{\mathrm {S} }={\frac {2GM}{c^{2}}}} est le rayon de Schwarzschild, où G {\displaystyle G} et M {\displaystyle M} sont respectivement la constante de Newton et la masse ;
  • ln {\displaystyle \ln } est le logarithme naturel.

Les trois coordonnées d'espace (r, θ, φ) sont celles (r, θ, φ) de Schwarzschild[2].

Métrique

En coordonnées de Painlevé-Gullstrand, la métrique de Schwarzschild s'écrit[4] :

d s 2 = − c 2 d T 2 + ( d r + R S r c d T ) 2 + r 2 d Ω 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-c^{2}\mathrm {d} T^{2}+\left(\mathrm {d} r+{\sqrt {\frac {R_{\mathrm {S} }}{r}}}c\mathrm {d} T\right)^{2}+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}} ,

où :

  • R S {\displaystyle R_{\mathrm {S} }} est le rayon de Schwarzschild ;
  • d Ω 2 = d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d φ 2 {\displaystyle \mathrm {d} \Omega ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \varphi ^{2}}

En unités géométriques, elle s'écrit :

d s 2 = − d T 2 + ( d r + 2 m r d T ) 2 + r 2 d Ω 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} T^{2}+\left(\mathrm {d} r+{\sqrt {\frac {2m}{r}}}\mathrm {d} T\right)^{2}+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}} ,

où, par définition, c = 1 {\displaystyle c=1} , G = 1 {\displaystyle G=1} et m = G M c − 2 {\displaystyle m=GMc^{-2}}

Histoire

Les éponymes des coordonnées de Painlevé-Gullstrand sont le mathématicien et homme politique français Paul Painlevé (-) et le physicien et ophtalmologue suédois Allvar Gullstrand (-)[5].

Leur intérêt est qu'historiquement, il s'agit du premier système de coordonnées découvert grâce auquel la métrique de Schwarzschild n'est pas singulière en r = 2 G M c − 2 {\displaystyle r=2GMc^{-2}} [6].

Notes et références

  1. ↑ Gourgoulhon 2014, p. 295 (B.134).
  2. ↑ a et b Faraoni 2015, chap. 1er, sect. 1.3, § 1.3.5, p. 10.
  3. ↑ Müller et Grave 2014, chap. 2, sect. 2.2, § 2.2.7, p. 30 (2.2.65).
  4. ↑ Müller et Grave 2014, chap. 2, sect. 2.2, § 2.2.7, p. 30 (2.2.64).
  5. ↑ Gourgoulhon 2014, p. 296 (B.136).
  6. ↑ Frolov et Novikov 1998, p. 21, n. 5.

Voir aussi

Bibliographie

Publications originales

  • [Painlevé 1921] Paul Painlevé, « La mécanique classique et la théorie de la relativité », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, t. 173, no 17,‎ , p. 677-680 (Bibcode 1921CR....173..677P, lire en ligne).
  • [Gullstrand 1922] (de) Allvar Gullstrand, « Allgemeine Lösung des statischen Einkörperproblems in der Einsteinschen Gravitationstheorie » [« Solution générale du problème à un corps statique dans la théorie de la gravitation d'Einstein »], Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik, vol. 16, no 8,‎ , p. 1-15 (OCLC 248763855).

Études

  • [Fric 2014] Jacques Fric, « Painlevé, une contribution trop originale à la relativité générale pour avoir été comprise à l'époque ! », Bibnum, no 851,‎ , p. 21 p. (OCLC 5814688880, résumé, lire en ligne).
  • [Hamilton et Lisle 2008] (en) Andrew J. S. Hamilton et Jason P. Lisle, « The river model of black holes » [« Le « modèle de la rivière » de trous noirs »], Am. J. Phys., vol. 76, no 6,‎ , p. 519-532 (OCLC 232315685, DOI 10.1119/1.2830526, Bibcode 2008AmJPh..76..519H, arXiv gr-qc/0411060, résumé).
  • [Martel et Poisson 2001] (en) Karl Martel et Eric Poisson, « Regular coordinate systems for Schwarzschild and other spherical spacetimes » [« Systèmes réguliers de coordonnées pour la métrique de Schwarzschild et d'autres métriques à symétrie sphérique »], Am. J. Phys., vol. 69, no 4,‎ , p. 476-480 (OCLC 204852636, DOI 10.1119/1.1336836, Bibcode 2001AmJPh..69..476M, arXiv gr-qc/0001069, résumé).

Ouvrages

  • [Faraoni 2015] (en) Valerio Faraoni, Cosmological and black hole apparent horizons, Cham, Springer, coll. « Lecture notes in physics » (no 907), , 1re éd., 1 vol., XVI-199, ill. et fig., 15,6 × 23,4 cm, br. (ISBN 978-3-319-19239-0, EAN 9783319192390, BNF 44679877, LCCN 7326901611, DOI 10.1007/978-3-319-19240-6, SUDOC 187688281, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Heinicke et Hehl 2017] (en) Christian Heinicke et Friedrich W. Hehl, « Schwarzschild and Kerr solutions of Einstein's field equation : an introduction », dans Wei-Tou Ni (éd.), One hundred years of general relativity : from genesis and empirical foundations to gravitational waves, cosmology and quantum gravity [« Cent ans de relativité générale : de la genèse et des fondements empiriques aux ondes gravitationnelles, à la cosmologie et à la gravité quantique »], t. Ier, New Jersey, World Scientific, hors coll., , 1re éd., 1 vol., XXXII-16 p. et I-630-XLI, ill. et fig., 17 × 24,4 cm, rel. (ISBN 978-981-4678-48-3, EAN 9789814678483, OCLC 1002304256, BNF 45102782, DOI 10.1142/9389-vol1, SUDOC 203795857, présentation en ligne, lire en ligne), Ire part., chap. 3 [« Les solutions de Schwarzschild et de Kerr de l'équation du champ d'Einstein »], p. 109-185 (10.1142/9789814635134_0003).
  • [Frolov et Novikov 1998] (en) Valeri P. Frolov et Igor D. Novikov, Black hole physics : basic concepts and new developments [« Physique des trous noirs : concepts de base et nouveaux développements »], Dordrecht, Boston et Londres, Kluwer Academic, coll. « Fundamental theories of physics » (no 96), , 2e éd. (1re éd. ), 1 vol., XXI-770, ill. et fig., 15,6 × 23,4 cm, rel. (ISBN 0-7923-5145-2 et 0-7923-5146-0, EAN 9780792351450, OCLC 924984139, BNF 37548037, DOI 10.1007/978-94-011-5139-9, Bibcode 1998bhp..book.....F, SUDOC 045222835, présentation en ligne, lire en ligne).

Liens externes

  • [Gourgoulhon 2014] Éric Gourgoulhon, Relativité générale (cours de 2e année du master Astronomie, astrophysique et ingénieure spatiale de l'observatoire de Paris et des universités Paris-VI, Paris-VII et Paris-XI), , 1 vol., 341 (présentation en ligne, lire en ligne [PDF]).
  • [Müller et Grave 2014] Thomas Müller et Frank Grave, Catalogue of spacetimes [« Catalogue d'espace-temps »], , 1 vol., 100 (présentation en ligne, lire en ligne [PDF]).
  • icône décorative Portail de l’astronomie
  • icône décorative Portail de la physique