Stokesin lause

Stokesin lause yhdistää suljetun polkuintegraalin sekä polun rajaaman avoimen pinnan pintaintegraalin

∫ S ( ∇ × F ) ⋅ d S = ∮ C F ⋅ d l {\displaystyle \int _{S}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {dS} =\oint _{C}\mathbf {F\cdot dl} }

missä:

  • F {\displaystyle \mathbf {F} } on vektorikenttä
  • ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } on vektorikentän F {\displaystyle \mathbf {F} } roottori
  • S on avoin pinta euklidisessa kolmiulotteisessa avaruudessa
  • C on suljettu polku, joka rajaa avoimen pinnan S

Polkuintegraali lasketaan polkua vastapäivään, kun sitä katsotaan pinnan ulkopuolelta.

Stokesin lause voidaan esittää myös differentiaalimuodossa

∬ S ( ∂ F 3 ∂ y − ∂ F 2 ∂ z ) d y d z + ( ∂ F 1 ∂ z − ∂ F 3 ∂ x ) d z d x + ( ∂ F 2 ∂ x − ∂ F 1 ∂ y ) d x d y = ∮ C F 1 d x + F 2 d y + F 3 d z {\displaystyle \iint \limits _{S}\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\right)\,dydz+\left({\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}\right)\,dzdx+\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)\,dxdy=\oint \limits _{C}F_{1}\,dx+F_{2}\,dy+F_{3}\,dz}

missä F1, F2 ja F3 ovat F:n komponentteja karteesisessa koordinaatistossa.

Historia

Stokesin lause on saanut nimensä irlantilaisen Sir George Stokesin (1819–1903) mukaan. Stokesin lauseen kuitenkin keksi skotlantilainen Sir William Thomson (1824–1907, tunnetaan paremmin nimellä lordi Kelvin). Stokes sai lauseen Thomsonin kirjeesta vuonna 1850 ja pyysi oppilaitaan Cambridgen yliopistolla todistamaan sen oikeaksi vuonna 1854, lauseen todistaminen oli kahdeksas tehtävä vuosittaisessa Smith's Prize -kokeessa.[1] James Clerk Maxwell ratkaisi tehtävän ensimmäisenä.[2] Ensimmäisenä lauseen todistuksen julkaisi Hermann Hankel vuonna 1861 teoksessaan "Nesteiden liikkeen yleisestä teoriasta".[3]

Katso myös

  • Greenin teoreema

Lähteet

  1. ↑ Stewart, James: Essential Calculus: Early Transcendentals, s. 786. Thomson Brooks/Cole, 2010. ISBN 9780538497398.
  2. ↑ Stokesin laatima Smith's Prize -koe vuonna 1854 James Clerk Maxwell Foundation. Viitattu 26.3.2015.
  3. ↑ Hankel, Hermann: Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten 1861. Göttingen, Dieterische Univ.-Buchdruckerei. Viitattu 26.3.2015.

Kirjallisuutta

  • Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Aiheesta muualla

  • Mathworld. Stokes' Theorem
  • Mathworld. Curl Theorem