Pythagoraan lause

Pythagoraan lause on matemaattinen teoreema, yksi kaikkein tunnetuimmista. Lause kuuluu: "Suorakulmaisen kolmion kateetit sivuina piirrettyjen neliöiden alojen summa on yhtä suuri kuin hypotenuusa sivuna piirretyn neliön ala".

Lauseen avulla voidaan siis laskea suorakulmaisen kolmion tuntemattoman sivun pituus, jos muiden sivujen pituudet tunnetaan. Se on käytännön sovellusten kannalta tärkeimpiä matematiikan yksittäisiä tuloksia, mm. siksi, että se mahdollistaa suorakulmaisen koordinaatiston pisteiden etäisyyden määrittämisen pisteiden koordinaattien avulla. Lause on nimetty kreikkalaisen matemaatikon Pythagoraan mukaan. Lauseen sisältö on kuitenkin tunnettu jo mesopotamialaisessa laskennossa noin 2000 eaa., ja vuoteen 1650 eaa. ajoitetun Rhindin papyruksen perusteella voidaan päätellä sen olleen tunnettu myös Egyptissä.^[1]

Pythagoraan lauseen sisältö voidaan ilmaista yhtälönä ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\!\,}$, jossa ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ ovat suoran kulman muodostavien sivujen eli kateettien pituudet ja ${\displaystyle c}$ pisimmän sivun eli hypotenuusan pituus.

Yhtälöstä voidaan ratkaista

${\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}}$,     ${\displaystyle b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}}$   ja  ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$.

Pythagoraan lause on erikoistapaus kosinilauseesta. Kosinilausetta kutsutaan usein myös laajennetuksi Pythagoraan lauseeksi.

Lauseen todistaminen

Pythagoraan lauseelle on olemassa satoja todistuksia. On myös perustettu järjestö, joka kerää todistuksia kyseiselle lauseelle. Seuraavassa eräs tapa todistaa lause paikkansapitäväksi^[2]:

Todistus: Olkoon suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ${\displaystyle c}$ ja kateetit ${\displaystyle a}$ sekä ${\displaystyle b}$. Osoitetaan, että hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin kateettien neliöiden summa.

Piirretään neliö ${\displaystyle ABCD}$, jonka yhden sivun pituus on suorakulmaisen kateettien summa eli ${\displaystyle a+b}$. Valitaan neliön sivuilta pisteet ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle G}$ ja ${\displaystyle H}$ niin, että ${\displaystyle AE=BF=CG=DH=a}$. Silloin ${\displaystyle EB=FC=GD=HA=b}$, ja suorakulmaiset kolmiot ${\displaystyle AEH}$, ${\displaystyle BFE}$, ${\displaystyle CGF}$ ja ${\displaystyle DHG}$ ovat yhteneviä. Siis ${\displaystyle HE=EF=FG=GH=c}$. Edelleen ${\displaystyle \angle AHE=\angle BEF}$ ja ${\displaystyle \angle HEF=180^{\circ }-(\angle AEH+\angle BEF)=180^{\circ }-(\angle AEH+\angle AHE)}$. Koska kolmio ${\displaystyle AEH}$ on suorakulmainen, ${\displaystyle \angle AEH+\angle AHE=90^{\circ }}$. Siis ${\displaystyle \angle HEF=90^{\circ }}$. Samalla tavalla nähdään, että nelikulmion ${\displaystyle EFGH}$ muutkin kolme kulmaa ovat suoria kulmia. Nelikulmio ${\displaystyle EFGH}$ on siis neliö, ja sen ala on ${\displaystyle c^{2}}$.

Jokaisen neljän yhtenevän suorakulmaisen kolmion ala on ${\displaystyle {\frac {1}{2}}ab}$. Neliön ${\displaystyle ABCD}$ ala on ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab}$. Toisaalta neliön ${\displaystyle ABCD}$ ala on ${\displaystyle c^{2}+4\cdot {\frac {1}{2}}ab=c^{2}+2ab}$. Siis ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$.

Yksinkertaisin todistus. Luultavasti yksinkertaisin Pythagoraan lauseen todistus nojautuu tietoon, jonka mukaan yhdenmuotoisten monikulmioiden alojen suhde on sama kuin niiden minkä tahansa vastinsivujen neliöiden suhde. Jos suorakulmaiseen kolmioon ${\displaystyle ABC}$, missä ${\displaystyle \angle BCA=90^{\circ }}$, piirretään korkeusjana ${\displaystyle CD}$, niin kolmiot ${\displaystyle ABC}$, ${\displaystyle BCD}$ ja ${\displaystyle CAD}$ ovat yhdenmuotoisia suorakulmaisia kolmioita. Niissä ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC}$ ja ${\displaystyle AC}$ ovat vastinsivuja. Kolmioiden alat ovat ${\displaystyle k\cdot AB^{2}}$, ${\displaystyle k\cdot BC^{2}}$ ja ${\displaystyle k\cdot AC^{2}}$, missä ${\displaystyle k}$ on jokin verrannollisuuskerroin. Koska kolmioista ensimmäisen ala on sama kuin kahden jälkimmäisen alojen summa, on

${\displaystyle k\cdot AB^{2}=k\cdot BC^{2}+k\cdot AC^{2}}$.

Kun ${\displaystyle k}$ supistetaan pois, saadaan Pythagoraan lause.

Vielä eräs tapa Pythagoraan lauseen todistamiseksi on esitetty ohessa animaationa.

Pythagoraan lauseen käänteislause

Pythagoraan lauseelle käänteinen väittämä on myös voimassa: jos kolmion kahden lyhemmän sivun neliöiden summa on yhtä kuin pisimmän sivun neliö, on kolmio suorakulmainen. Esimerkiksi ${\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$, joten on olemassa suorakulmainen kolmio, jonka sivut ovat 3, 4 ja 5 yksikköä pitkät. Tätä tietoa on arveltu egyptiläisten pyramidien rakentajien käyttäneen suoran kulman määrittämiseen: lenkiksi liitetty pitkä solmunaru, jossa oli yhteensä 12 solmua tasavälein, vedettiin kolmioksi, jossa oli kolmen, neljän ja viiden solmuvälin sivut, ja näin saatiin aikaan suora kulma.

Pythagoraan lauseen käänteislause on helppo todistaa epäsuorasti Pythagoraan lauseeseen nojautumalla.

Lähteet

Kirjallisuutta

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 326–327. Suomentanut Virpi Kauko. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Pythagoraan lause Wikimedia Commonsissa

• Opetus TV: Pythagoraan lause