Lebesguen differentioituvuuslause

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Matematiikassa Lebesguen differentioituvuuslause on reaalianalyysin lause, jonka mukaan integroituvan funktion arvo voidaan laskea melkein kaikkialla laskemalla sen infinitesimaalisten keskiarvojen raja-arvo. Lause on nimetty Henri Lebesguen mukaan.

Väite

Jos f on reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, niin infinitesimaalinen integraali on funktio, joka kuvaa mitallisen joukon A  funktion ${\displaystyle f\cdot \mathbf {1} _{A}}$ Lebesguen integraalille, missä ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ on joukon A indikaattorifunktio. Tämä kirjoitetaan usein muodossa.

${\displaystyle \int _{A}f\ \mathrm {d} \lambda ,}$

missä λ on n-ulotteinen Lebesguen mitta.

Tämän integraalin derivaatta kohdassa x on määritelmän perusteella

${\displaystyle \lim _{B\rightarrow x}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}f\,\mathrm {d} \lambda ,}$

missä |B| on x-keskisen pallon B tilavuus eli Lebesguen mitta. Lisäksi B → x tarkoittaa, että pallon säde lähestyy nollaa.

Lebesguen differentioituvuuslause sanoo, että yllä oleva derivaatta on olemassa ja sen arvo on f(x) melkein jokaisessa pisteessä x ∈ Rⁿ. Niitä pisteitä x, joissa yhtäsuuruus on voimassa, sanotaan Lebesguen pisteiksi.