Konveksi funktio

Tämän artikkelin tai sen osan määritelmä puuttuu tai on huonosti laadittu. Voit auttaa Wikipediaa parantamalla artikkelin määritelmää. Lisää tietoa saattaa olla keskustelusivulla. Tarkennus: Maallikolle käsittämätön määritelmä, koska mitään selittäviä käsitteitä ei selitetä eikä edes aata. Tietosanakirjan pitää olla yleistajuinen.

Reaaliarvoinen funktio voi olla konveksi eli alaspäin kupera, konkaavi eli ylöspäin kupera, kumpikin tai ei kumpikaan. Tyyppiesimerkki konveksista funktiosta on toisen asteen polynomi ${\displaystyle x^{2}}$.

Määritelmä

Olkoon ${\displaystyle A}$ reaalilukujen osajoukko ja ${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$ funktio.

Funkio ${\displaystyle f}$ on konveksi, jos

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)}$,

kaikille ${\displaystyle x,y\in A}$ ja ${\displaystyle t\in [0,1]}$.^[1]

Epäyhtälön oikea puoli on pisteiden ${\displaystyle (x,f(x))}$ ja ${\displaystyle (y,f(y))}$ kautta kulkevan suoran arvo ${\displaystyle x}$:n ja ${\displaystyle y}$:n välisessä pisteessä ja vasen puoli on funktion arvo samassa pisteessä. Geometrisesti määritelmä siis tarkoittaa, että minkä tahansa funktion kuvaajan kahden pisteen kautta piirretyn janan kaikki pisteet ovat funktion yläpuolella tai että jana sivuaa kuvaajaa.

Ominaisuuksia

Konveksilla funktiolla on seuraavat ominaisuudet:

1. Kahden konveksin funktion summa on konveksi.
2. Konveksi funktio kerrottuna positiivisella vakiolla on konveksi.
3. Konveksi funktio on jatkuva, muttei välttämättä derivoituva.
4. Lineaariset funktiot ovat konvekseja sekä konkaaveja.
5. Kahdesti derivoituva funktio on konveksi välillä ${\displaystyle [a,b]}$ jos ja vain jos ${\displaystyle f''(x)\geq 0}$ välillä ${\displaystyle [a,b]}$.

Konkaavi funktio

Funktio ${\displaystyle f}$ on konkaavi, jos

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y)}$. ^[1]

Toisin sanoen funktio ${\displaystyle f}$ on konkaavi, jos funktio ${\displaystyle -f}$ on konveksi.

Lähteet