Ketjumurtoluku

Äärellinen ketjumurtoluku on muotoa

[ a 0 ; a 1 , a 2 , . . . , a n ] = a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 ⋯ + 1 a n {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},...,a_{n}]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\dots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}}


oleva lauseke, jossa a0 on kokonaisluku ja a1, a2, …, an ovat positiivisia kokonaislukuja.

Ääretön ketjumurtoluku taas on muotoa

[ a 0 ; a 1 , a 2 , . . . ] = a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + ⋯ {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},...]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\,\cdots }}}}}}}

oleva lauseke, jossa luvuille ak pätevät samat rajoitukset kuin äärellisessä tapauksessakin. Ketjumurtolukua, jonka osoittajat poikkeavat ykkösestä kutsutaan yleiseksi ketjumurtoluvuksi. Tapausta, jossa osoittajat ovat ykkösiä voidaan selkeyden vuoksi kutsua vastaavasti yksinkertaiseksi ketjumurtoluvuksi. Oppikirjoissa kuitenkin yleensä pitäydytään yksinkertaisissa ketjumurtoluvuissa, ja puhuttaessa ketjumurtoluvuista tarkoitetaan lähes aina yksinkertaisia ketjumurtolukuja, ellei toisin mainita.

Luvun x ketjumurtolukuesityksessä esiintyvät luvut a 0 , a 1 , a 2 , … {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots } voivat joissakin tapauksissa muodostaa jaksollisen jonon vaikka x olisi irrationaaliluku jonka desimaalikehitelmä ei ole jaksollinen. Esimerkiksi tapauksessa x = 2 {\displaystyle x={\sqrt {2}}}

  2 = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋱ . {\displaystyle \!\ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}.}

Toisaalta esim. luvun pii π {\displaystyle \pi } ketjumurtolukuesitys ei noudata mitään ilmiselvää säännönmukaisuutta.

Esimerkkejä yksinkertaisista ketjumurtoluvuista
Kaava Numeerinen esimerkki Huomioita
  a 0 {\displaystyle \ a_{0}}   2 {\displaystyle \ 2} Kaikki kokonaisluvut ovat nollannen asteen ketjumurtolukuja
  a 0 + 1 a 1 {\displaystyle \ a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}}}}   2 + 1 3 {\displaystyle \ 2+{\cfrac {1}{3}}} Yksinkertaisin mahdollinen murtoluvun sisältävä muoto
  a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 {\displaystyle \ a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}}}}}}   − 3 + 1 2 + 1 18 {\displaystyle \ -3+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{18}}}}} Ensimmäinen kokonaisluku voi olla negatiivinen
  a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 {\displaystyle \ a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}}}}}}}}   1 15 + 1 1 + 1 102 {\displaystyle \ {\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{102}}}}}}} Ensimmäinen kokonaisluku voi olla nolla


Aiheesta muualla

  • Helsinki.fi, Ketjumurtoluvuista