Kertymäfunktio

Kertymäfunktio ^[1] eli jakaumafunktio ^[2] (engl. cumulative distribution function, cdf) on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä reaaliarvoisen satunnaismuuttujan todennäköisyyden jakautumista kuvaava funktio. Kertymäfunktion ${\displaystyle F(x)}$ arvot ovat todennäköisyyksiä tapahtumissa, jossa satunnaismuuttuja ${\displaystyle X}$ saa reuna-arvon ${\displaystyle x}$ tai sitä pienempiä arvoja eli ${\displaystyle \scriptstyle F(x)=P(X\leq x)}$. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa kertymäfunktio määritellään tiheysfunktion määrätyn integraalin avulla ja diskreetillä satunnaismuuttujalla pistetodennäköisyyksien summana. Kertymäfunktio on aina oikealta jatkuva, vaikka tiheysfunktio tai pistetodennäköisyysfunktio olisi epäjatkuva.^[1][2][3]

Määritelmä

Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio määritellään

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\sum _{k\leq x}p(k),}$ ^[2][3]

missä ${\displaystyle p(k)}$ on pistetodennäköisyysfunktion arvo ylärajaa ${\displaystyle x}$ pienemmillä satunnaismuuttujan arvoilla.^[3]

Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio määritellään määrättynä integraalina ylärajan ${\displaystyle x}$ suhteen

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)dt,}$ ^[1][3]

missä ${\displaystyle f(x)}$ on satunnaismuuttujan tiheysfunktio. Tiheysfunktiota havainnollistetaan ajattelemalla sen arvoja "todennäköisyysmassan" korkeutena, missä suuri arvo merkitsee yleistä satunnaismuuttujan arvoa. Kertymäfunktion tapauksessa voidaan edelleen ajatella, että sen arvo tarkoittaisi "todennäköisyysmassan" kokonaismäärää ${\displaystyle F(a)}$ kohdassa ${\displaystyle a}$ ja sitä pienemmillä satunnaismuuttujan arvoilla.^[4][3]

Jos tiheysfunktio on jatkuva, saadaan se myös derivoimalla kertymäfunktio muuttujan suhteen

${\displaystyle F'(x)=f(x).}$ ^[1]

Merkintöjä

Jos halutaan korostaa kertymäfunktion satunnaismuuttujaa, merkitään satunnaismuuttuja usein alaindeksiksi ${\displaystyle F_{X}(x)}$ ja ${\displaystyle F_{Y}(x).}$ Toisinaan merkitään kertymäfunktio kreikkalaisella aakkosella ${\displaystyle \Phi (x)}$ (lue: "fii"), jos tiheysfunktio on ollut ${\displaystyle \phi (x)}$ (pieni kirjain).^[4]

Esimerkkejä

Diskreetti satunnaismuuttuja

Diskreetin satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktiolla saa 10 nollasta eroavaa arvoa

${\displaystyle P(X=x_{i})=p(x_{i})=f(x_{i}),}$

kun ${\displaystyle i=1,...,10,}$ jotka ovat yhtä suuret eli ${\displaystyle p(x_{i})={\tfrac {1}{10}}.}$ Kertymäfunktio saadaan arvoa x pienempien kohtien todennäköisyyksien summasta eli

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\sum _{x_{i}\leq x}p_{i}=p_{1}+p_{2}+...+p_{k}.}$ ^[5][1]

Tämän porrasfunktion arvot ovat oikealta jatkuvia ja sen kuvaaja on esitetty alla.

Jatkuva satunnaismuuttuja

Tasaisen jakauman tiheysfunktio välillä [a,b] on ^[6]

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}},&{\mbox{jos }}x\in [a,b]\\0,&{\mbox{jos }}x\notin [a,b]\end{cases}}}$ ^[1]

ja sen kertymäfunktioksi saadaan

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)dt={\begin{cases}0,&{\mbox{jos }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}},&{\mbox{jos }}x\in [a,b]\\1,&{\mbox{jos }}x>b.\end{cases}}}$ ^[1]

Sen kuvaaja on alla.

• 
  Diskreetti jakauma, jossa 10 yhtä todennäköistä arvoa
• 
  Binomijakauman kertymäfunktio
• 
  Beta-jakaumia eri parametreilla
• 
  Burrin jakaumia eri parametreillä
• 
  Cauchyn jakaumia eri parametreillä
• 
  Khi-jakaumia
• 
  χ²-jakaumia
• 
  Eksponenttijakaumia kolmella parametrillä
• 
  Frechet-jakaumia eri parametreillä
• 
  Gammajakaumia eri parametreillä
• 
  Maxwell-Boltzmannin jakaumia eri parametreillä
• 
  Normaalijakaumia kuudella parametriparilla
• 
  Pareto-jakamia eriparametreillä
• 
  Rayleigh-jakaumia eri parametreillä
• 
  Tasainen jakauma

Ominaisuuksia

Funktiona

Kertymäfunktio on kuvaus reaaliluvuilta välille ${\displaystyle [0,1]}$, eli

${\displaystyle F(x):\mathbb {R} \rightarrow [0,1].}$ ^[3]

Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio on jatkuva funktio. Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio on oikealta jatkuva porrasfunktio.^[2] Jatkuvuudesta seuraa ominaisuus

${\displaystyle P(X<a)=\lim _{x\to a}F(x)=\lim _{x\to a}P(X<x)=P(X\leq a)=F(a).}$

Tämä ominaisuus voidaan kirjoittaa havainnollisemmin

${\displaystyle P(X\leq a)=P(X<a{\mbox{ tai }}X=a)=P(X<a)+P(X=a)=P(X<a).}$ ^[4]

Jatkuvan satunnaismuuttujan pistetodennäköisyys eli arvo yksittäisessä pisteessä on siten nolla eli

${\displaystyle P(X=a)=0.}$

Koska kertymäfunktion arvot ovat tapahtumien todennäköisyyksiä, saa se vain arvoja väliltä

${\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1.}$ ^[1][3]

Kertymäfunktio on lisäksi monotoninen funktio, joka on ei-vähenevä eli

${\displaystyle F(x_{1})\leq F(x_{2})}$ kun on ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$. ^[1][3]

Tämän vuoksi kertymäfunktio kasvaa lopulta täyteen arvoonsa, kun ylärajaa kasvatetaan riittävästi

${\displaystyle \lim _{a\to +\infty }F(a)=\lim _{a\to +\infty }\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx=1.}$ ^[3]

Kertymäfunktio alkaa nollasta jostakin arvosta a lähtien. Jos satunnaismuuttuja arvoalue on äärettömän laaja, voidaan tämä ilmaista

${\displaystyle \lim _{a\to -\infty }F(a)=\lim _{a\to -\infty }\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx=0.}$ ^[3]

Todennäköisyyksinä

Edellä esitelty määritelmä on eräs tapa ilmaista tapahtuma, jossa todennäköisyys lasketaan käyttämällä satunnaismuuttujan ylärajana ${\displaystyle x}$ eli

${\displaystyle P(X\leq x)=F(x).}$

Voidaan osoittaa, että sillä voidaan laskea kaikki sellaiset todennäköisyydet, jossa tapahtumat ovat välejä. Esimerkiksi, koska mielivaltaiselle satunnaismuuttujan arvolle ${\displaystyle a}$ pätee

${\displaystyle P(X<a)+P(a\leq X)=1,}$ ^[4]

voidaan vastatapahtuman todennäköisyys laskea

${\displaystyle P(a\leq X)=1-P(X<a)=1-P(X\leq a)=1-F(a).}$ ^[3]

Toisaalta, koska mielivaltaisille satunnaismuuttujan arvoille ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ pätee

${\displaystyle P(X<a)+P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b),}$ ^[4]

voidaan välin ${\displaystyle [a,b]}$ todennäköisyys laskea

${\displaystyle P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b)-P(X<a)=P(X\leq b)-P(X\leq a)=F(b)-F(a).}$ ^[3]

Jos kertymäfunktio olisi määritelty toisella tavalla, olisi siihenkin voitu johtaa kaikkien muidenkin välien todennäköisyydet.

• 
  ${\displaystyle \scriptstyle P(X<x)+P(x\leq X)=1,}$ kohdassa x
• 
  ${\displaystyle \scriptstyle P(a\leq X)=1-F(a)}$
• 
  ${\displaystyle \scriptstyle P(x_{1}\leq X\leq x_{2})=}$ ${\displaystyle \scriptstyle F(x_{2})-F(x_{1})}$

Lähteet