Imaginaariluku

Imaginaariluku on negatiivisen luvun[1] tai nollan neliöjuuri. Toisin sanoen imaginaariluku on sellainen kompleksiluku, jonka reaaliosa on 0. Usein imaginaarilukua kutsutaan puhtaaksi imaginaariluvuksi erotukseksi yleisistä imaginaariluvuista eli kompleksiluvuista.

Käyttäen ei-negatiivista reaalilukua a {\displaystyle a} imaginaariluku voidaan ilmaista muodossa

− a = i a {\displaystyle {\sqrt {-a}}=i{\sqrt {a}}} ,[1]

missä i {\displaystyle i} on imaginaariyksikkö, joka toteuttaa yhtälön i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} . Sähkötekniikassa imaginaariyksikköä on perinteisesti merkitty kirjaimella j, koska i on varattu sähkövirran hetkellisarvon symboliksi.

Nolla on sekä reaaliluku että imaginaariluku, koska 0 = 0 i {\displaystyle 0=0i} . Nollan imaginaarisuuden seurauksena imaginaariluvut muodostavat yhteenlaskun suhteen ryhmän. Myöhemmin havaittiin, että imaginaarilukujen yhdessä reaalilukujen kanssa muodostama kompleksilukujen kunta on aivan välttämätön funktioteorian kehittämiseksi.

Imaginaariluvun alkuperä

Italialainen Rafael Bombelli määritteli imaginaariluvut vuonna 1572. Käsite imaginaarinen tulee ranskalaiselta René Descartesilta, joka piti kompleksilukuja mielikuvituksen tuotteina.

Imaginaariluvut otettiin käyttöön, jotta yhtälöillä tyyppiä

x 2 + a = 0 , {\displaystyle x^{2}+a=0,}

missä a {\displaystyle a} > 0, olisi olemassa ratkaisut x = ± i a {\displaystyle x=\pm i{\sqrt {a}}} .

Imaginaarilukujen soveltaminen

Fysiikan ja tekniikan jaksollisten ilmiöiden käsittely muuttuu imaginaarilukujen avulla yksinkertaiseksi. Siten värähtelyjen ja vaihtosähkösuureiden esitys tehdään perinteisesti kompleksilukujen avulla.

Katso myös

  • Juuri (laskutoimitus)

Lähteet

  1. ↑ a b Richard Aufmann, Joanne Lockwood: Algebra: Beginning and Intermediate, s. 523. Cengage Learning, 2012. ISBN 9781133709398. (englanniksi)

Kirjallisuutta

  • Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: Complex Variables. Shaum's Outline Series. McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964). ISBN 978-0-07-161569-9, ISBN 978-0-07-161570-9 (eBook).
  • Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0.
  • Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

Aiheesta muualla

  • Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Imaginaariluku Wikimedia Commonsissa