Eulerin identiteetti

Eulerin identiteettiä havainnollistava kuva. Lukua e i π {\displaystyle e^{i\pi }} vastaa kehän piste ( − 1 , 0 ) {\displaystyle (-1,0)} , sillä e i φ , 0 ≤ φ < 2 π {\displaystyle e^{i\varphi },0\leq \varphi <2\pi } on yksikköympyrän parametrisointi kompleksitasossa.
Eksponenttifunktio e z {\displaystyle e^{z}} funktion ( 1 + z / N ) N {\displaystyle (1+z/N)^{N}} raja-arvona, kun N {\displaystyle N} lähestyy ääretöntä. Animaatiossa N {\displaystyle N} saa arvoja välillä 1 − 100. Kun N {\displaystyle N} suurenee, ( 1 + i π / N ) N {\displaystyle (1+i\pi /N)^{N}} lähestyy arvoa −1.

Eulerin identiteetti on kompleksianalyysissä Eulerin lauseella saatu yhtälö

e i π + 1 = 0 , {\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,\!,}

jossa

e {\displaystyle e\,\!} on Neperin luku,
i {\displaystyle i\,\!} on imaginaariyksikkö ja
π {\displaystyle \pi \,\!} on pii.

Eulerin identiteettiä on kutsuttu matematiikan kauneimmaksi kaavaksi,[1] koska se sitoo toisiinsa useat nykymatematiikan tärkeät luvut: Neperin luvun, piin, imaginaariyksikön ja perusluvut 1:n ja 0:n. Yhtälössä esiintyvät myös matematiikan kolme tärkeää laskutoimitusta: yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korottaminen. Se yhdistää matemaattisen analyysin, geometrian ja kompleksiluvut. Kaavassa on myös yhtälöissä esiintyvä tapa kirjoittaa yhtäläisyysmerkin oikealle puolelle nolla.

Määrittäminen

Eulerin lause on seuraavanlainen:

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x . {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.\,\!}

Lause on pätevä kaikille reaaliluvuille x. Kulma x on radiaaneina.

Jos nyt asetetaan

x = π {\displaystyle x=\pi \,\!} ,

niin

e i π = cos ⁡ π + i sin ⁡ π . {\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!}


Koska

cos ⁡ π = − 1 {\displaystyle \cos \pi =-1\,\!}

ja

sin ⁡ π = 0 , {\displaystyle \sin \pi =0,\,\!}

seuraa, että

e i π = − 1 , {\displaystyle e^{i\pi }=-1,\,\!}

josta saadaan Eulerin identiteetti

e i π + 1 = 0. {\displaystyle e^{i\pi }+1=0.\,\!}

Q.E.D.

Lähteet

  1. ↑ Mathematics: Why the brain sees maths as beauty 13 February 2014. BBC. Viitattu 24.3.2014.

Aiheesta muualla

  • Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 618–653. "Luku 21, Eulerin aika". Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6.