Besselin funktiot

Besselin funktiot ovat useissa erilaisissa tilanteissa vastaantuleva joukko erikoisfunktioita. Ne liittyvät usein differentiaali- tai osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen sylinterikoordinaatistossa, mistä syystä niitä kutsutaan joskus myös sylinterifunktioiksi. Esimerkiksi rummun kalvon värähtely säteen suunnassa on kombinaatio Besselin funktioita. Tyypillinen esimerkki on myös taajuusmoduloidun signaalin spektri. Funktiot on nimetty preussilaisen tähtitieteilijän Friedrich Besselin mukaan.

Alun perin Besselin funktiot ovat Besselin differentiaaliyhtälön

x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + ( x 2 − n 2 ) y = 0 {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-n^{2})y=0}

ratkaisuja.[1] Osoittautuu, että tämän yhtälön ratkaisuja ei voida esittää alkeisfunktioiden avulla, joten ratkaisut kuuluvat erikoisfunktioihin. Ratkaisun yleinen muoto on

y ( x ) = a J n ( x ) + b Y n ( x ) {\displaystyle y(x)=aJ_{n}(x)+bY_{n}(x)\,} ,

missä funktio J n {\displaystyle J_{n}} on n {\displaystyle n} :s ensimmäisen lajin Besselin funktio ja funktio Y n {\displaystyle Y_{n}} vastaavasti n {\displaystyle n} :s toisen lajin Besselin funktio ja kertoimet a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } .

Ensimmäisen lajin Besselin funktiot

Ensimmäisen lajin Besselin funktiot J 0 , J 1 {\displaystyle J_{0},J_{1}} ja J 2 {\displaystyle J_{2}} .

Ensimmäisen lajin Besselin funktio voidaan kirjoittaa potenssisarjana

J n ( x ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( x / 2 ) n + 2 k k ! Γ ( n + k + 1 ) {\displaystyle J_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(x/2)^{n+2k}}{k!\Gamma (n+k+1)}}}

Tässä esiintyvä funktio Γ {\displaystyle \Gamma } on myös erikoisfunktioihin kuuluva gammafunktio ja ! tarkoittaa kertomaa. Tilanteessa, jossa n < 0 {\displaystyle n<0}

J − n ( x ) = ( − 1 ) n J n ( x ) {\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x)\,} .

Jos n {\displaystyle n} on kokonaisluku, funktiot voidaan määritellä integraalina

J n ( x ) = 1 2 π ∫ 0 2 π cos ⁡ ( n t − x sin ⁡ t ) d t {\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos(nt-x\sin t)dt} .

Besselin funktioille on voimassa muutamia rekursiokaavoja. Näiden käyttö on yleensä kätevää.

J n + 1 ( x ) = 2 n x J n ( x ) − J n − 1 ( x ) {\displaystyle J_{n+1}(x)={\frac {2n}{x}}J_{n}(x)-J_{n-1}(x)}
J n ′ ( x ) = 1 2 ( J n − 1 ( x ) − J n + 1 ( x ) ) {\displaystyle J_{n}'(x)={\frac {1}{2}}(J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x))}
x J n ′ ( x ) = n J n ( x ) − x J n + 1 ( x ) {\displaystyle xJ_{n}'(x)=nJ_{n}(x)-xJ_{n+1}(x)\,}
( x n J n ( x ) ) ′ = x n J n − 1 ( x ) {\displaystyle (x^{n}J_{n}(x))'=x^{n}J_{n-1}(x)\,}
( x − n J n ( x ) ) ′ = − x − n J n + 1 ( x ) {\displaystyle (x^{-n}J_{n}(x))'=-x^{-n}J_{n+1}(x)\,}

Toisen lajin Besselin funktiot

Toisen lajin Besselin funktiot Y 0 , Y 1 {\displaystyle Y_{0},Y_{1}} ja Y 2 {\displaystyle Y_{2}}

Toisen lajin Besselin funktiot tunnetaan myös Weberin funktioina tai Neumannin funktioina. Ne voidaan lausua trigonometristen funktioiden ja ensimmäisen lajin Besselin funktioiden avulla

Y n ( x ) = J n ( x ) cos ⁡ ( n π ) − J − n ( x ) sin ⁡ ( n π ) , n ≠ 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {J_{n}(x)\cos(n\pi )-J_{-n}(x)}{\sin(n\pi )}},\;n\neq 0,1,2,\ldots }

ja kokonaislukuindeksille n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\ldots }

Y n ( x ) = lim h → n J h ( x ) cos ⁡ ( h π ) − J − h ( x ) sin ⁡ ( h π ) {\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{h\rightarrow n}{\frac {J_{h}(x)\cos(h\pi )-J_{-h}(x)}{\sin(h\pi )}}}

Myös toisen lajin Besselin funktioille on voimassa

Y − n ( x ) = ( − 1 ) n Y n ( x ) {\displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x)\,} .

Samoin yllä mainitut rekursiokaavat ovat voimassa toisen lajin funktioille sellaisenaan.

Hankelin funktiot

Aaltojen etenemistä tutkittaessa törmätään Hankelin funktioihin. Ne ovat kompleksisia funktioita, joiden reaaliosa on ensimmäisen ja imaginääriosa toisen lajin Besselin funktio. Näille ovat voimassa

H n ( 1 ) ( x ) = J n ( x ) − i Y n ( x ) {\displaystyle H_{n}^{(1)}(x)=J_{n}(x)-iY_{n}(x)\,}
H n ( 2 ) ( x ) = J n ( x ) + i Y n ( x ) {\displaystyle \;H_{n}^{(2)}(x)=J_{n}(x)+iY_{n}(x)\,}

Hankelin funktiot voidaan lausua ensimmäisen lajin Besselin funktioiden avulla ei-kokonaislukuindeksille n {\displaystyle n}

H n ( 1 ) ( x ) = J − n ( x ) − e − n π i J n ( x ) i sin ⁡ ( n π ) {\displaystyle H_{n}^{(1)}(x)={\frac {J_{-n}(x)-e^{-n\pi i}J_{n}(x)}{i\sin(n\pi )}}}
H n ( 1 ) ( x ) = J − n ( x ) − e n π i J n ( x ) − i sin ⁡ ( n π ) {\displaystyle H_{n}^{(1)}(x)={\frac {J_{-n}(x)-e^{n\pi i}J_{n}(x)}{-i\sin(n\pi )}}} .

Kokonaislukuindeksille yllä olevista kaavoista on laskettava lim n → k , k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \lim _{n\rightarrow k},\;k=0,1,2,\ldots } . Negatiivisille n {\displaystyle n} :n arvoille

H − n ( 1 ) ( x ) = e n π i H n ( 1 ) ( x ) {\displaystyle H_{-n}^{(1)}(x)=e^{n\pi i}H_{n}^{(1)}(x)}
H − n ( 2 ) ( x ) = e − n π i H n ( 2 ) ( x ) {\displaystyle H_{-n}^{(2)}(x)=e^{-n\pi i}H_{n}^{(2)}(x)}

Lähteet

  1. ↑ Weisstein, Eric W.: CRC Concise Encylopedia of Mathematics, s. 198. , 2003.

Kirjallisuutta

  • Jalava, Väinö: Johdatus funktionaalianalyysiin. Moniste 95. Tampere: TTKK, 1983. ISBN 951-720-831-6.
  • Laasonen, Pentti: Matemaattisia erikoisfunktioita. Moniste 261. Otaniemi: TKK, 1971.

Aiheesta muualla

Commons
Commons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Besselin funktiot.
  • Tietopaketti Besselin funktioista (englanniksi)
  • Wolfram Mathworld: Bessel Function of the First Kind (englanniksi)
  • Wolfram Mathworld: Bessel Function of the Second Kind (englanniksi)