Unidades de Planck

Las unidades de Planck o unidades naturales son un sistema de unidades propuesto por primera vez en 1899 por Max Planck. El sistema mide varias de las magnitudes fundamentales del universo: tiempo, longitud, masa, carga eléctrica y temperatura. El sistema se define haciendo que las cinco constantes físicas universales de la tabla tomen el valor 1 cuando se expresen ecuaciones y cálculos en dicho sistema.

Tabla 1: Constantes físicas fundamentales

Constante	Símbolo	Dimensiones
Velocidad de la luz en el vacío	${\displaystyle {c}\ }$	L / T
Constante de gravitación universal	${\displaystyle {G}\ }$	L3/T2M
Constante reducida de Planck	${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ donde ${\displaystyle {h}\ }$ es la constante de Planck	ML2/T
Constante de fuerza de Coulomb	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}}$ donde ${\displaystyle {\epsilon _{0}}\ }$ es la permitividad en el vacío	M L3/ Q2 T2
Constante de Boltzmann	${\displaystyle {k}\ }$	M L2/T2K

El uso de este sistema de unidades trae consigo varias ventajas. La primera y más obvia es que simplifica mucho la estructura de las ecuaciones físicas porque elimina las constantes de proporcionalidad y hace que los resultados de las ecuaciones no dependan del valor de las constantes.

Por otra parte, se pueden comparar mucho más fácilmente las magnitudes de distintas unidades. Por ejemplo, dos protones se rechazan porque la repulsión electromagnética es mucho más fuerte que la atracción gravitatoria entre ellos. Esto se puede comprobar al ver que los protones tienen una carga aproximadamente igual a una unidad natural de carga, pero su masa es mucho menor que la unidad natural de masa.

También permite evitar bastantes problemas de redondeo, sobre todo en computación. Sin embargo, tienen el inconveniente de que al usarlas es más difícil percatarse de los errores en el análisis dimensional. Son populares en el área de investigación de la relatividad general y la gravedad cuántica.

Las unidades Planck suelen llamarse de forma jocosa por los físicos como las "unidades de Dios", porque elimina cualquier arbitrariedad antropocéntrica del sistema de unidades.

Expresión de leyes físicas en unidades Planck

• Ley de la gravitación universal de Newton

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$

se convierte en

${\displaystyle F={\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$ utilizando unidades Planck.

• Ecuación de Schrödinger

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)}$

se convierte en

${\displaystyle -{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)}$

• La energía de una partícula o fotón con frecuencia radial ${\displaystyle {\omega }\ }$ en su función de onda

${\displaystyle {E=\hbar \omega }\ }$

se convierte en

${\displaystyle {E=\omega }\ }$

• La famosa ecuación de masa-energía de Einstein

${\displaystyle {E=mc^{2}}\ }$

se convierte en

${\displaystyle {E=m}\ }$

(por ejemplo, un cuerpo con una masa de 5000 unidades Planck de masa tiene una energía intrínseca de 5000 unidades Planck de energía) y su forma completa

${\displaystyle {E^{2}=(mc^{2})^{2}+(pc)^{2}}\ }$

se convierte en

${\displaystyle {E^{2}=m^{2}+p^{2}}\ }$

• ecuación de campo de Einstein de la relatividad general

${\displaystyle {G_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}\ }$

se convierte en

${\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\ }$

• La unidad de temperatura se define para que el promedio de energía térmica cinética por partícula por grado de libertad de movimiento

${\displaystyle {E={\frac {1}{2}}kT}\ }$

se convierte en

${\displaystyle {E={\frac {1}{2}}T}\ }$

• Ley de Coulomb

${\displaystyle F={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}$

se convierte en

${\displaystyle F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}$ .

• Ecuaciones de Maxwell

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$

se convierten respectivamente en

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$

utilizando las unidades Planck. (Los factores ${\displaystyle 4\pi \ }$ se pueden eliminar si ${\displaystyle \epsilon _{0}\ }$ se hubiera normalizado, en vez de la constante de fuerza de Coulomb ${\displaystyle 1/(4\pi \epsilon _{0})\ }$.)

Unidades de Planck básicas

Al dar valor 1 a las cinco constantes fundamentales, las unidades de tiempo, longitud, masa, carga y temperatura se definen así:

Tabla 2: Unidades de Planck básicas

Nombre	Dimensión	Expresión	Equivalencia aproximada en el Sistema Internacional
Longitud de Planck	Longitud (L)	${\displaystyle l_{P}=c\ t_{P}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}}$	1.616 252(81) × 10−35 m [[1]​]
Masa de Planck	Masa (M)	${\displaystyle m_{P}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}}$	2.176 44(11) × 10−8 kg (21 ${\displaystyle \mu }$g) [[2]​]
Tiempo de Planck	Tiempo (T)	${\displaystyle t_{P}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}}$	5.391 24(27) × 10−44 s [[3]​]
Carga de Planck	Carga eléctrica (Q)	${\displaystyle q_{P}={\sqrt {\hbar c4\pi \epsilon _{0}}}}$	1.875 545 870(47) × 10−18 C
Temperatura de Planck	Temperatura (ML2T-2/k)	${\displaystyle T_{P}={\frac {m_{P}c^{2}}{k}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk^{2}}}}}$	1.416 785(71) × 1032 K [[4]​]

Unidades de Planck derivadas

Como en otros sistemas de unidades, las magnitudes físicas derivadas se pueden definir basándose en las unidades de Planck.

Nombre	Dimensión	Expresión	Equivalencia aproximada en el Sistema Internacional
Energía de Planck	Energía (ML2/T2)	${\displaystyle E_{P}=m_{P}c^{2}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}$	1.9561 × 109 J
Fuerza de Planck	Fuerza (ML/T2)	${\displaystyle F_{P}={\frac {E_{P}}{l_{P}}}={\frac {c^{4}}{G}}}$	1.21027 × 1044 N
Potencia de Planck	Potencia (ML2/T3)	${\displaystyle P_{P}={\frac {E_{P}}{t_{P}}}={\frac {c^{5}}{G}}}$	3.62831 × 1052 W
Densidad de Planck	Densidad (M/L3)	${\displaystyle \rho _{P}={\frac {m_{P}}{l_{P}^{3}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}}$	5.15500 × 1096 kg/m³
Velocidad angular de Planck	Velocidad angular (1/T)	${\displaystyle \omega _{P}={\frac {1}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}}$	1.85487 × 1043 rad/s
Presión de Planck	Presión (M/LT2)	${\displaystyle p_{P}={\frac {F_{P}}{l_{P}^{2}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}}$	4.63309 × 10113 Pa
Intensidad eléctrica de Planck	Intensidad eléctrica (Q/T)	${\displaystyle I_{P}={\frac {q_{P}}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \epsilon _{0}}{G}}}}$	3.4789 × 1025 A
Tensión eléctrica de Planck	Tensión eléctrica (ML2/T2Q)	${\displaystyle V_{P}={\frac {E_{P}}{q_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \epsilon _{0}}}}}$	1.04295 × 1027 V
Resistencia eléctrica de Planck	Resistencia (ML2/T Q2)	${\displaystyle Z_{P}={\frac {V_{P}}{I_{P}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}}$	2.99792458 × 10¹ Ω

Véase también

• Análisis dimensional
• Constante física
• Unidades atómicas

Referencias