Hexágono trigonométrico


El hexágono trigonométrico es un recurso mnemónico para ayudar a recordar relaciones e identidades trigonométricas. Las primeras versiones del hexágono aparecieron en una publicación china "Mathematics Handbook" en 1978.[1]​

Identidades pitagóricas

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 {\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}
tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ {\displaystyle \tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta }
1 + cot 2 ⁡ θ = csc 2 ⁡ θ {\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta }

Identidades recíprocas

Cada función trigonométrica es el recíproco de la que está en el lado opuesto del hexágono.

sen ⁡ θ = 1 / csc ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {sen} \theta =1/\csc \theta } csc ⁡ θ = 1 / sen ⁡ θ {\displaystyle \csc \theta =1/\operatorname {sen} \theta }
cos ⁡ θ = 1 / sec ⁡ θ {\displaystyle \cos \theta =1/\sec \theta } sec ⁡ θ = 1 / cos ⁡ θ {\displaystyle \sec \theta =1/\cos \theta }
tan ⁡ θ = 1 / cot ⁡ θ {\displaystyle \tan \theta =1/\cot \theta } cot ⁡ θ = 1 / tan ⁡ θ {\displaystyle \cot \theta =1/\tan \theta }

Productos

El producto de cada función trigonométrica multiplicada por la opuesta en el hexágono es 1.

sen ⁡ θ ∗ csc ⁡ θ = 1 {\displaystyle \operatorname {sen} \theta *\csc \theta =1} csc ⁡ θ ∗ sen ⁡ θ = 1 {\displaystyle \csc \theta *\operatorname {sen} \theta =1}
cos ⁡ θ ∗ sec ⁡ θ = 1 {\displaystyle \cos \theta *\sec \theta =1} sec ⁡ θ ∗ cos ⁡ θ = 1 {\displaystyle \sec \theta *\cos \theta =1}
tan ⁡ θ ∗ cot ⁡ θ = 1 {\displaystyle \tan \theta *\cot \theta =1} cot ⁡ θ ∗ tan ⁡ θ = 1 {\displaystyle \cot \theta *\tan \theta =1}

Cada función trigonométrica es el producto de las dos que la rodean.

sen ⁡ θ = tan ⁡ θ ∗ cos ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {sen} \theta =\tan \theta *\cos \theta } csc ⁡ θ = cot ⁡ θ ∗ sec ⁡ θ {\displaystyle \csc \theta =\cot \theta *\sec \theta }
cos ⁡ θ = sen ⁡ θ ∗ cot ⁡ θ {\displaystyle \cos \theta =\operatorname {sen} \theta *\cot \theta } sec ⁡ θ = csc ⁡ θ ∗ tan ⁡ θ {\displaystyle \sec \theta =\csc \theta *\tan \theta }
tan ⁡ θ = sec ⁡ θ ∗ sen ⁡ θ {\displaystyle \tan \theta =\sec \theta *\operatorname {sen} \theta } cot ⁡ θ = cos ⁡ θ ∗ csc ⁡ θ {\displaystyle \cot \theta =\cos \theta *\csc \theta }

Cocientes

Cada función trigonométrica es el cociente de las dos siguientes.

sen ⁡ θ = cos ⁡ θ / cot ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {sen} \theta =\cos \theta /\cot \theta } csc ⁡ θ = sec ⁡ θ / tan ⁡ θ {\displaystyle \csc \theta =\sec \theta /\tan \theta }
cos ⁡ θ = cot ⁡ θ / csc ⁡ θ {\displaystyle \cos \theta =\cot \theta /\csc \theta } sec ⁡ θ = tan ⁡ θ / sen ⁡ θ {\displaystyle \sec \theta =\tan \theta /\operatorname {sen} \theta }
tan ⁡ θ = sen ⁡ θ / cos ⁡ θ {\displaystyle \tan \theta =\operatorname {sen} \theta /\cos \theta } cot ⁡ θ = csc ⁡ θ / sec ⁡ θ {\displaystyle \cot \theta =\csc \theta /\sec \theta }

Cada función trigonométrica es el cociente de las dos anteriores.

sen ⁡ θ = tan ⁡ θ / sec ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {sen} \theta =\tan \theta /\sec \theta } csc ⁡ θ = cot ⁡ θ / cos ⁡ θ {\displaystyle \csc \theta =\cot \theta /\cos \theta }
cos ⁡ θ = sen ⁡ θ / tan ⁡ θ {\displaystyle \cos \theta =\operatorname {sen} \theta /\tan \theta } sec ⁡ θ = csc ⁡ θ / cot ⁡ θ {\displaystyle \sec \theta =\csc \theta /\cot \theta }
tan ⁡ θ = sec ⁡ θ / csc ⁡ θ {\displaystyle \tan \theta =\sec \theta /\csc \theta } cot ⁡ θ = cos ⁡ θ / sen ⁡ θ {\displaystyle \cot \theta =\cos \theta /\operatorname {sen} \theta }

Identidades de la cofunción

Cada función trigonométrica de un ángulo dado θ {\displaystyle \theta } es igual a su cofunción evaluada en ( π 2 − θ ) {\displaystyle \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)} .

sen ⁡ θ = cos ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle \operatorname {sen} \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)} cos ⁡ θ = sen ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle \cos \theta =\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}
tan ⁡ θ = cot ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle \tan \theta =\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)} cot ⁡ θ = tan ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle \cot \theta =\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}
sec ⁡ θ = csc ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle \sec \theta =\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)} csc ⁡ θ = sec ⁡ ( π 2 − θ ) {\displaystyle \csc \theta =\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}

Paridad

Las funciones coseno y secante son pares, el resto son impares.

Seno es impar

sen ⁡ ( − θ ) = − sen ⁡ ( θ ) {\displaystyle \operatorname {sen} \left(-\theta \right)=-\operatorname {sen} \left(\theta \right)}

csc es impar

csc ⁡ ( − θ ) = − csc ⁡ ( θ ) {\displaystyle \csc \left(-\theta \right)=-\csc \left(\theta \right)}

cos es par

cos ⁡ ( − θ ) = cos ⁡ ( θ ) {\displaystyle \cos \left(-\theta \right)=\cos \left(\theta \right)}

sec es par

sec ⁡ ( − θ ) = sec ⁡ ( θ ) {\displaystyle \sec \left(-\theta \right)=\sec \left(\theta \right)}

tan es impar

tan ⁡ ( − θ ) = − tan ⁡ ( θ ) {\displaystyle \tan \left(-\theta \right)=-\tan \left(\theta \right)}

cot es impar

cot ⁡ ( − θ ) = − cot ⁡ ( θ ) {\displaystyle \cot \left(-\theta \right)=-\cot \left(\theta \right)}

Periodicidad

Las funciones tangente y cotangente tienen una periodicidad de π {\displaystyle \pi } , mientras que el resto tienen una periodicidad de 2 π {\displaystyle 2\pi }

Seno: 2 π {\displaystyle 2\pi } csc: 2 π {\displaystyle 2\pi }
cos: 2 π {\displaystyle 2\pi } sec: 2 π {\displaystyle 2\pi }
tan: π {\displaystyle \pi } cot: π {\displaystyle \pi }

Referencias

  1. ↑ «HEXAGON: An Aid in Remembering the Eight Fundamental Trigonometric Identities». Archivado desde el original el 31 de marzo de 2013. Consultado el 3 de marzo de 2014. 

Véase también

Control de autoridades
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