Función simétrica

En matemáticas, una función en ${\displaystyle n}$ variables se dice simétrica si su valor no cambia al modificar el orden de sus argumentos. Por ejemplo, una función ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)}$ de dos variables es una función simétrica si y sólo si ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)=f\left(x_{2},x_{1}\right)}$ para cualesquiera ${\displaystyle x_{1}}$ y ${\displaystyle x_{2}}$ tales que ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2}\right)}$ y ${\displaystyle \left(x_{2},x_{1}\right)}$ están en el dominio de ${\displaystyle f.}$ Las funciones simétricas más importantes son las polinómicas, que vienen dadas por los polinomios simétricos.

Una noción relacionada es la de polinomio alterno, que se refiere a un polinomio que cambia de signo al intercambiar dos variables. Además de las funciones polinómicas, los tensores que actúan como funciones de varios vectores también pueden ser simétricos, y de hecho el espacio de los ${\displaystyle k}$-tensores simétricos sobre un espacio vectorial ${\displaystyle V}$ es isomorfo al espacio de polinomios homogéneos de grado ${\displaystyle k}$ sobre ${\displaystyle V.}$ No debe confundirse el concepto con el de funciones pares e impares, que tienen un tipo diferente de simetría.

Simetrización

Dada cualquier función ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle n}$ variables que toma valores en un grupo abeliano, se puede construir una función simétrica sumando los valores de ${\displaystyle f}$ sobre todas las ${\displaystyle n!}$ permutaciones de sus argumentos. De manera similar, se puede construir una función antisimétrica sumando en las permutaciones pares y restando la suma en las permutaciones impares. Estas operaciones, por supuesto, no son invertibles, y bien podrían dar como resultado una función que es idénticamente cero para funciones no triviales. El único caso general en el que ${\displaystyle f}$ se puede recuperar si se conocen tanto su simetrización como su antisimetrización es cuando ${\displaystyle n=2}$ y el grupo abeliano admite división por 2 (inversa de la duplicación); en ese caso ${\displaystyle f}$ es igual a la mitad de la suma de su simetrización y su antisimetrización.

Ejemplos

• Se considera la función real dada por:

Por definición, una función simétrica en ${\displaystyle n}$ variables tiene la siguiente propiedad:

En general, la función se mantiene igual bajo cualquier permutación de sus variables. Esto significa que, en este caso,

y así sucesivamente, para todas las permutaciones de ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$.

• La función

cumple que, al intercambiar ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, se obtiene ${\displaystyle f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2}}$, que da exactamente los mismos resultados que la original ${\displaystyle f(x,y)}$.

• Si ${\displaystyle f}$ viene ahora dada por

.

Si se intercambian las variables, ${\displaystyle f}$ se convierte en ${\displaystyle f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}}$. Esta función no coincide con la original si ${\displaystyle a\neq b}$, y por lo tanto no es simétrica.

Aplicaciones

Estadística

En estadística, un estadístico ${\displaystyle n}$-muestral (una función en ${\displaystyle n}$ variables) que se obtiene simetrizando mediante bootstrapping un estadístico ${\displaystyle k}$-muestral, produciendo una función simétrica en ${\displaystyle n}$ variables, se llama estadístico U. Algunos ejemplos son la media muestral y la varianza muestral.

Véase también

• Polinomio simétrico
• Polinomio simétrico elemental
• Polinomio alterno
• Simetrización y antisimetrización de tensores
• Funciones pares e impares - Funciones matemáticas con simetrías específicas
• Polinomio de Vandermonde (determinante de la matriz de Vandermonde)

Bibliografía

• F. N. David, M. G. Kendall & D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press.
• Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, & Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-73794-4.