Función Xi de Riemann

En matemática, la la función Xi de Riemann es una variante de la función zeta de Riemann, y es definida así por la particularidad de tener una ecuación funcional simple. La función se llama así en honor a Bernhard Riemann.

Definición

La función xi (minúscula) de Riemann está definida como:

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s).}$

La ecuación funcional (o fórmula de reflexión) para la función xi es

${\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s).\,}$

La función Xi (mayúscula) está definida como

${\displaystyle \Xi (t)=\pi ^{-{\frac {{\frac {1}{2}}+it}{2}}}\Gamma \left({\frac {{\frac {1}{2}}+it}{2}}\right)\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)}$

y también obedece a la misma ecuación funcional.

Valores

La fórmula general para enteros pares es

${\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{{B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n^{2}-n)(n-1)!} \over {(2n)!}}.}$

Por ejemplo:

${\displaystyle \xi (2)={\pi \over 6}.}$

Representación en forma de serie

La función xi tiene la siguiente expansión en forma de serie:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n}.}$

Esta expansión juega particularmente un papel importante en el criterio de Li, en el cual declara que la hipótesis de Riemann es equivalente a tener ${\displaystyle \lambda _{n}>0}$ para todo número positivo n.

Hipótesis de Riemann

Como se ha señalado por varios trabajos de Alain Connes y otros, la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que la función xi de Riemann es el determinante funcional del operador

${\displaystyle -D^{2}+f(x)\,}$

con

${\displaystyle f^{-1}(x)={\sqrt {(}}4\pi ){\frac {d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2}}}}$ así,

${\displaystyle {\frac {\xi (1/2+iz)}{\xi (1/2)}}={\frac {\det(H-z^{2})}{\det(H)}}}$,

cuya conjetura está apoyada mediante varias evaluaciones numéricas.

Referencias

• Weisstein, Eric W. «Xi-Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Keiper, J.B. (1992). «Power series expansions of Riemann's xi function». Mathematics of Computation 58 (198): 765-773. Bibcode:1992MaCom..58..765K. doi:10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5. 
• Riemann Ξ function en PlanetMath.