Satz von Gelfand-Mazur

Der Satz von Gelfand-Mazur (nach Israel Gelfand und Stanisław Mazur) ist einer der Ausgangspunkte der Theorie der Banachalgebren. Er besagt, dass ${\displaystyle \mathbb {C} }$ die einzige ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra ist, die ein Schiefkörper ist.

Sei ${\displaystyle A}$ eine ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra mit Einselement ${\displaystyle 1}$. Dann gibt es zu jedem ${\displaystyle a\in A}$ ein ${\displaystyle \lambda \in {\mathbb {C} }}$, so dass ${\displaystyle a-\lambda 1}$ nicht invertierbar ist.

Man nennt die Menge aller ${\displaystyle \lambda \in {\mathbb {C} }}$, für die ${\displaystyle a-\lambda 1}$ nicht invertierbar ist, auch das Spektrum von ${\displaystyle a}$. Damit lässt sich diese Aussage prägnanter so formulieren, dass das Spektrum eines Elementes einer ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra mit Einselement nicht leer ist.

Der Beweis besteht aus einem Zusammenspiel von Funktionalanalysis (Satz von Hahn-Banach) und Funktionentheorie (Satz von Liouville):

Wir nehmen an, ${\displaystyle a-\lambda 1}$ sei für jedes ${\displaystyle \lambda \in {\mathbb {C} }}$ invertierbar. Dann gilt für voneinander verschiedene ${\displaystyle \lambda ,\mu \in {\mathbb {C} }}$

${\displaystyle (a-\lambda 1)^{-1}(\lambda -\mu )(a-\mu 1)^{-1}=(a-\lambda 1)^{-1}((a-\mu 1)-(a-\lambda 1))(a-\mu 1)^{-1}=(a-\lambda 1)^{-1}-(a-\mu 1)^{-1}}$

Man wende nun ein beliebiges ${\displaystyle f\in A'}$ an und teile obige Gleichung durch ${\displaystyle \lambda -\mu }$. Es folgt

${\displaystyle {\frac {f((a-\lambda 1)^{-1})-f((a-\mu 1)^{-1})}{\lambda -\mu }}=f((a-\lambda 1)^{-1}(a-\mu 1)^{-1})}$.

Die rechte Seite existiert aus Stetigkeitsgründen für ${\displaystyle \mu \rightarrow \lambda }$, denn die algebraischen Operationen inklusive Inversion in ${\displaystyle A}$ sind stetig und ${\displaystyle f}$ ist stetig. Daher ist die Funktion ${\displaystyle \lambda \mapsto f((a-\lambda 1)^{-1})}$ holomorph auf ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Sie verschwindet im Unendlichen, denn ${\displaystyle \lim _{|\lambda |\rightarrow \infty }\|(a-\lambda 1)^{-1}\|=0}$ und ${\displaystyle f}$ ist stetig. Daher ist diese Funktion beschränkt und nach dem Satz von Liouville konstant, sie muss also auf ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ gleich ${\displaystyle 0}$ sein. Da ${\displaystyle f\in A'}$ beliebig war, folgt aus dem Satz von Hahn-Banach, dass ${\displaystyle (a-\lambda 1)^{-1}=0}$, aber das kann für ein invertierbares Element nicht sein. Dieser Widerspruch beendet den Beweis.

Ist die ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra ${\displaystyle A}$ ein Schiefkörper, so ist ${\displaystyle A\cong {\mathbb {C} }}$.

Ist nämlich ${\displaystyle a\in A}$, so gibt es nach obigem Lemma ein ${\displaystyle \lambda \in {\mathbb {C} }}$, so dass ${\displaystyle a-\lambda 1}$ nicht invertierbar ist. Da ${\displaystyle 0}$ das einzige nicht-invertierbare Element in einem Schiefkörper ist, muss ${\displaystyle a=\lambda 1}$ sein. Also ist jedes Element von ${\displaystyle A}$ ein ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$-Vielfaches der Eins, und es folgt die Behauptung.

Aus dem obigen Lemma folgt unmittelbar der Fundamentalsatz der Algebra (im Spezialfall ${\displaystyle A=\mathbb {C} ^{n\times n}}$ besagt der Satz schließlich genau, dass jede Matrix einen Eigenwert hat) und erscheint als ein elementares Beispiel des Satzes von Gelfand-Mazur.

Aus dem Satz von Gelfand-Mazur folgt trivialerweise der Vollständigkeitssatz von Ostrowski über archimedisch bewertete Körpererweiterungen von ${\displaystyle \mathbb {C} }$, da Absolutbeträge von Körpern zugleich Normen von Schiefkörpern sind.

• Vollständigkeitssatz von Ostrowski über vollständige archimedisch bewertete Körper
• Fundamentalsatz der Algebra
• Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)

• R. V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983
• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg (1992)