Morse-Potential

Das Morse-Potential (blau) im Vergleich zum quadratischen Potential des harmonischen Oszillators (grün).
Eingezeichnet sind auch die Energiestufen, die beim Harmonischen Oszillator äquidistant sind ( ℏ ω {\displaystyle \hbar \omega } ), beim Morsepotential hingegen mit zunehmender Energie immer weniger Abstand haben, bis zur Bindungsenergie D e {\displaystyle D_{e}} , die größer als die tatsächlich benötigte Energie D 0 {\displaystyle D_{0}} zur Flucht aus der Potentialmulde ist, da die Nullpunktenergie ( ν = 0 ) {\displaystyle \left(\nu =0\right)} größer Null ist.

Das Morse-Potential V {\displaystyle V} ist ein Begriff aus der Molekülphysik. Der 1929 vom US-amerikanischen Physiker Philip McCord Morse[1] vorgeschlagene Zusammenhang beschreibt den Verlauf des elektronischen Potentials eines zweiatomigen Moleküls in Abhängigkeit vom Kern­bindungsabstand R {\displaystyle R} durch eine exponentielle Näherung:

V ( R ) = D e ⋅ ( 1 − e − a ⋅ ( R − R e ) ) 2 {\displaystyle V(R)=D_{\text{e}}\cdot \left(1-e^{-a\cdot (R-R_{\text{e}})}\right)^{2}}

mit

  • D e {\displaystyle D_{\text{e}}} die (spektroskopische) Dissoziationsenergie
  • R e {\displaystyle R_{\text{e}}} der Kernabstand mit der geringsten potentiellen Energie und
  • a {\displaystyle a} eine Konstante (manchmal als „Steifigkeit des Potentials“[2] bezeichnet)

Diese Größen sind für das betrachtete Molekül charakteristisch.

Da man üblicherweise das Potential im Unendlichen als null definiert:

V ( ∞ ) = 0 {\displaystyle V(\infty )=0}

wird das Morse-Potential häufig in der alternativen Form angegeben:

V ( R ) − D e = D e ⋅ ( e − 2 a ⋅ ( R − R e ) − 2 e − a ⋅ ( R − R e ) ) {\displaystyle V(R)-D_{\text{e}}=D_{\text{e}}\cdot \left(e^{-2a\cdot (R-R_{\text{e}})}-2e^{-a\cdot (R-R_{\text{e}})}\right)}

Dadurch verschiebt sich das Nullpunktpotential um − D e {\displaystyle -D_{\text{e}}} . Diese Verschiebung ermöglicht die Definition eines cutoff-Radiuses, ab dem das Potential nicht mehr berücksichtigt wird.

Die Schrödinger-Gleichung ist mit dem Morsepotential analytisch lösbar. So können die Schwingungsenergien E ν {\displaystyle E_{\nu }} berechnet werden:

E ν = h ω 0 ⋅ ( ν + 1 2 ) − h 2 ω 0 2 4 D e ⋅ ( ν + 1 2 ) 2 {\displaystyle E_{\nu }=h\omega _{0}\cdot \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {h^{2}\omega _{0}^{2}}{4D_{\text{e}}}}\cdot \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right)^{2}}

mit

  • dem planckschen Wirkungsquantum   h {\displaystyle \ h}
  • der Schwingungsquantenzahl ν {\displaystyle \nu }
  • der Frequenz ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} , die über die Teilchenmasse m {\displaystyle m} mit der Konstante a {\displaystyle a} des Morse-Potentials verknüpft ist
ω 0 = a 2 π 2 D e m {\displaystyle \omega _{0}={\frac {a}{2\pi }}{\sqrt {\frac {2D_{\text{e}}}{m}}}}

Heutzutage wird für die Berechnung von Schwingungsenergien eher das RKR-Potential (RKR steht hierbei für Ragnar Rydberg, Oskar Klein und Lloyd Rees) oder das Lennard-Jones-Potential angewendet.

Literatur

  • Wolfgang Demtröder: Molekülphysik: Theoretische Grundlagen und experimentelle Methoden. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2003, ISBN 978-3-486-24974-3, S. 93–94. 
  • Ludwig Bergmann, Clemens Schaefer, Wilhelm Raith, Mit Beitragen Von H. Kleinpoppen, M. Fink, N. Risch: Bestandteile der Materie: Atome, Moleküle, Atomkerne, Elementarteilchen. Walter de Gruyter, 2003, ISBN 978-3-11-016800-6, S. 460–462. 
  • Gerd Otter, Raimund Honecker: Atome – Moleküle – Kerne: Molekül- und Kernphysik. Vieweg +Teubner, 1996, ISBN 978-3-519-03220-5, S. 152–154. 

Einzelnachweise

  1. ↑ Philip M. Morse: Diatomic Molecules According to the Wave Mechanics. II. Vibrational Levels. In: Physical Review. Band 34, Nr. 1, 1. Juni 1929, S. 57, doi:10.1103/PhysRev.34.57. 
  2. ↑ Ingolf V. Hertel, C.-P. Schulz: Atome, Moleküle und Optische Physik 2: Moleküle und Photonen-Spektroskopie und Streuphysik. Springer, 2011, ISBN 978-3-642-11972-9, S. 13.