Lehmer-Mittel

In der Mathematik ist das Lehmer-Mittel ein nach Derrick Henry Lehmer benannter, verallgemeinerter Mittelwert.

Definition

Das Lehmer-Mittel n {\displaystyle n} positiver reeller Zahlen a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} zur Stufe p {\displaystyle p} ist wie folgt definiert:

L p ( a 1 , … , a n ) = ∑ k = 1 n a k p ∑ k = 1 n a k p − 1 . {\displaystyle L_{p}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}^{p}}{\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}^{p-1}}}.}

Es gibt auch eine Form des Lehmer-Mittels mit (positiven) Gewichten w = ( w 1 , … , w n ) {\displaystyle w=(w_{1},\ldots ,w_{n})} . Das gewichtete Lehmer-Mittel ist:

L p , w ( a 1 , … , a n ) = ∑ k = 1 n w k a k p ∑ k = 1 n w k a k p − 1 . {\displaystyle L_{p,w}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}w_{k}a_{k}^{p}}{\sum \limits _{k=1}^{n}w_{k}a_{k}^{p-1}}}.}

Eigenschaften

Für das Lehmer-Mittel gilt

  • lim p → − ∞ L p ( a 1 , … , a n ) = min { a 1 , … , a n } {\displaystyle \lim _{p\to -\infty }L_{p}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\min\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}} ist der Minimalwert.
  • L 0 ( a 1 , … , a n ) = n ∑ k = 1 n 1 a k = n 1 a 1 + ⋯ + 1 a n {\displaystyle L_{0}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {n}{\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{a_{k}}}}}={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}} ist das harmonische Mittel.
  • Für n = 2 {\displaystyle n=2} ist L 1 2 ( a 1 , a 2 ) = a 1 + a 2 1 a 1 + 1 a 2 = a 1 a 2 {\displaystyle L_{\frac {1}{2}}(a_{1},a_{2})={\frac {{\sqrt {a_{1}}}+{\sqrt {a_{2}}}}{{\frac {1}{\sqrt {a_{1}}}}+{\frac {1}{\sqrt {a_{2}}}}}}={\sqrt {a_{1}a_{2}}}} das geometrische Mittel.
  • L 1 ( a 1 , … , a n ) = ∑ k = 1 n a k n = a 1 + ⋯ + a n n {\displaystyle L_{1}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}}{n}}={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}} ist das arithmetische Mittel.
  • L 2 ( a 1 , … , a n ) = ∑ k = 1 n a k 2 a 1 + ⋯ + a n {\displaystyle L_{2}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}^{2}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}} ist das schon Eudoxos von Knidos bekannte kontraharmonische Mittel[1].
  • lim p → ∞ L p ( a 1 , … , a n ) = max { a 1 , … , a n } {\displaystyle \lim _{p\to \infty }L_{p}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\max\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}} ist der Maximalwert.

Das kontraharmonische Mittel ist im Gegensatz zu den anderen fünf Spezialfällen nicht monoton[2], d. h. aus a i ≤ b i {\displaystyle a_{i}\leq b_{i}} für alle i {\displaystyle i} folgt nicht L 2 ( a 1 , … , a n ) ≤ L 2 ( b 1 , … , b n ) {\displaystyle L_{2}(a_{1},\ldots ,a_{n})\leq L_{2}(b_{1},\ldots ,b_{n})} .

Einzelnachweise

  1. ↑ Hischer/Lambert: "Was ist ein numerischer Mittelwert?"
  2. ↑ Mittelwertaxiome

Literatur

  • D. H. Lehmer: On the compounding of certain means. J. Math. Anal. Appl. 36 (1971) S. 183–200
  • P. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Kluwer Acad. Pub. 2003, ISBN 1-4020-1522-4 (umfassende Diskussion von Mittelwerten und den mit ihnen verbundenen Ungleichungen).