Fortunate-Zahl

Die Fortunate-Zahl ${\displaystyle f_{n}}$ zu einer gegebenen positiven natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ ist definiert als die Differenz von ${\displaystyle P_{n}}$ (= Produkt der ersten ${\displaystyle n}$ Primzahlen) auf die kleinste Primzahl, die mindestens um 2 größer als ${\displaystyle P_{n}}$ ist.^[1]

Sie sind nach Reo Franklin Fortune benannt, der sie untersucht hat.

${\displaystyle f_{n}=\min {\Bigl \{}m>1\;{\Big |}\,\prod _{i=1}^{n}p_{i}+m\in \mathbb {P} {\Bigr \}}}$.

Die ersten 50 Fortunate-Zahlen sind:

3, 5, 7, 13, 23, 17, 19, 23, 37, 61, 67, 61, 71, 47, 107, 59, 61, 109, 89, 103, 79, 151, 197, 101, 103, 233, 223, 127, 223, 191, 163, 229, 643, 239, 157, 167, 439, 239, 199, 191, 199, 383, 233, 751, 313, 773, 607, 313, 383, 293, … (Folge A005235 in OEIS)

Sortiert und ohne Wiederholungen ist die Folge der Fortunate-Zahlen:

3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 37, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 89, 101, 103, 107, 109, 127, 151, 157, 163, 167, 191, 197, 199, 223, 229, 233, 239, 271, 277, 283, 293, 307, 311, 313, 331, 353, 373, 379, 383, 397, 401, 409, 419, 421, 439, 443, … (Folge A046066 in OEIS)

Beispiel

Berechnung der 8. Fortunate-Zahl ${\displaystyle f_{8}}$:
Das Produkt der ersten 8 Primzahlen ist ${\displaystyle P_{8}=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19=9699690}$. Die nächste um mindestens 2 größere Primzahl ist ${\displaystyle p=9699713}$. Diese Primzahl ist um ${\displaystyle p-P_{8}=9699713-9699690=23}$ größer als das Primzahlprodukt ${\displaystyle P_{8}}$. Somit ist ${\displaystyle f_{8}=23}$.

Fortunate-Primzahlen

Eine Fortunate-Zahl, die gleichzeitig prim ist, nennt man Fortunate-Primzahl. Bisher sind alle bekannten Fortunate-Zahlen Primzahlen.

Reo Franklin Fortune vermutete, dass alle Fortunate-Zahlen prim sind, ein bis heute ungelöstes Problem (Fortunes Vermutung, englisch Fortune's conjecture).^[2]

Less-fortunate numbers

Auf entsprechende Weise definiert Paul Carpenter auch die less-fortunate numbers (oder lesser fortunate numbers) als

${\displaystyle l_{n}=\min {\Bigl \{}m>1\;{\Big |}\,\prod _{i=1}^{n}p_{i}-m\in \mathbb {P} {\Bigr \}}}$.

Sie sind also definiert als die Differenz von ${\displaystyle P_{n}}$ (= Produkt der ersten ${\displaystyle n}$ Primzahlen) und der größten Primzahl, die mindestens um 2 kleiner als ${\displaystyle P_{n}}$ ist. Auch für diese Zahlen ist nicht bekannt, ob sie sämtlich prim sind.

Beispiele

• Die Less-fortunate number ${\displaystyle l_{1}}$ ist nicht definiert, weil ${\displaystyle P_{1}=2}$ ist und somit keine Primzahl existiert, welche mindestens um 2 kleiner als ${\displaystyle P_{1}}$ ist.
• Berechnung der Less-fortunate number ${\displaystyle l_{9}}$:

Das Produkt der ersten 9 Primzahlen ist ${\displaystyle P_{9}=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23=223092870}$. Die nächstkleinere Primzahl ist ${\displaystyle p=223092827}$. Das Primzahlprodukt ist um ${\displaystyle P_{9}-p=223092870-223092827=43}$ größer als die Primzahl ${\displaystyle p}$. Somit ist ${\displaystyle l_{9}=43}$.

• Die ersten 50 Less-fortunate numbers sind (wobei man mit ${\displaystyle l_{2}=3,l_{3}=7,\ldots }$ beginnen muss):

3, 7, 11, 13, 17, 29, 23, 43, 41, 73, 59, 47, 89, 67, 73, 107, 89, 101, 127, 97, 83, 89, 97, 251, 131, 113, 151, 263, 251, 223, 179, 389, 281, 151, 197, 173, 239, 233, 191, 223, 223, 293, 593, 293, 457, 227, 311, 373, 257, … (Folge A055211 in OEIS)

• Sortiert und ohne Wiederholungen ist die Folge der Less-fortunate numbers:

3, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 41, 43, 47, 59, 67, 73, 83, 89, 97, 101, 107, 113, 127, 131, 151, 173, 179, 191, 197, 223, 227, 233, 239, 251, 257, 263, 281, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 347, 367, 373, 379, 389, 431, 433, 439, 443, 449, …

Eigenschaft

• Die ersten 1000 Less-fortunate-numbers sind Primzahlen.^[3]

Vermutung

• Es wird vermutet, dass alle Less-fortunate-numbers Primzahlen sind.^[3]

Siehe auch

• Narzisstische Zahl
• Münchhausen-Zahl

Literatur

• Richard Kenneth Guy: Unsolved problems in number theory. 2. Auflage. Springer, 1994, ISBN 0-387-94289-0, S. 7–8. 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Fortunate Prime. In: MathWorld (englisch).
• Problems & Puzzles: Problems. Problem 4.- Fortune's Conjecture. primepuzzles.net, abgerufen am 20. April 2020 (englisch). 

Einzelnachweise

1. ↑ Fortunate number. In: The Prime Glossary. Abgerufen am 19. April 2008. 
2. ↑ Richard Kenneth Guy: Unsolved problems in number theory. Springer, 1994, S. 7–8, abgerufen am 23. Dezember 2018. 
3. ↑ ^{a b} Comments zu OEIS A055211