Sdružený operátor nebo též adjungovaný operátor je významný pojem ve funkcionální analýze.
Definice
Jsou-li
a
Hilbertovy prostory, pak k lineárnímu operátoru
sdruženým operátorem
, nazveme takový operátor, který splňuje:
Rieszova věta zaručuje existenci a jednoznačnost sdruženého operátoru.
Často se pro sdružený operátor též používá značení
, ve fyzice někdy
.
Vlastnosti
Základní vlastnosti
![{\displaystyle T^{**}=T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/339c389db5e0280f79b26c051d9d252d68b6869f)
![{\displaystyle (S+T)^{*}=S^{*}+T^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ed6a63e2b5978e797b8edcb47916a9e961364b)
![{\displaystyle (ST)^{*}=T^{*}S^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59add0a33473cb7dc078b13fd0f48513c16168d)
![{\displaystyle (\lambda T)^{*}={\overline {\lambda }}T^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8fd61ed59931216bc8b10ef053effe0a1f176f2)
- Je-li
invertibilní, tak: ![{\displaystyle (T^{*})^{-1}=(T^{-1})^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bba2a9371607146950800cc7d53daa2dc4263a0)
- V prostoru konečné dimenze sdruženému operátoru odpovídá komplexně sdružená transponovaná matice, tzv. hermiteovsky sdružená neboli adjungovaná matice.
Vlastnosti normy operátoru
Máme-li běžnou operátorovu normu
![{\displaystyle \|T\|=\sup _{\|x\|\leq 1}\|Tx\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/227f4a616a95761329782f12ec09c689d33ff417)
Tak platí:
![{\displaystyle \|T\|=\|T^{*}\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f41760435f3504bd7801655568e658eeb027d7e4)
A navíc:
![{\displaystyle \|T^{*}T\|=\|T\|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca3d0a783e40fb7e5b78983677526afec886d599)
Vztah jádra a obrazu
Jádro sdruženého operátoru je ortogonální na obraz původního operátoru, tj.:
![{\displaystyle \operatorname {Ker} \ T^{*}=(\operatorname {Im} \ T)^{\bot }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878bd1ae14f7bd44ad80d4c328ace8c9c6f76db9)
![{\displaystyle (\operatorname {Ker} \ T^{*})^{\bot }={\overline {\operatorname {Im} \ T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afece9a9612054e2659e639e5d0e0092c365d673)
Prvá rovnost platí protože:
![{\displaystyle {\begin{aligned}T^{*}x=0&\iff \langle T^{*}x,y\rangle =0\quad \forall y\in {\mathcal {H}}\\&\iff \langle x,Ty\rangle =0\quad \forall y\in {\mathcal {H}}\\&\iff x\ \bot \ \operatorname {Im} \ T\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca79999439686e2c0b70b696a858eec526dd956f)
Druhá rovnost vznikne jednoduše z první vzetím ortogonálního doplňku obou stran.
Portály: Matematika