Moivreova věta

Moivreova (čti [mwavʁova] IPA) věta říká, že pro libovolné komplexní číslo (a speciálně tedy i reálné číslo) x a libovolné celé číslo n platí:

( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n = cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x ) . {\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx).\,}

kde i je imaginární jednotka.

Tento vztah je důležitý, neboť propojuje komplexní čísla s goniometrií.

Výraz cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle \cos x+i\sin x} se někdy zkracuje na c i s   x {\displaystyle \mathrm {cis} \ x} .

Roznásobením levé strany a porovnáním reálných a imaginárních částí je možno odvodit vztahy pro vyjádření cos(nx) a sin(nx) pomocí cos(x) a sin(x).

Moivreovu větu lze také použít k vyjádření n-té odmocniny jedničky, tedy k nalezení takového komplexního čísla z, pro které platí zn = 1.

Abraham de Moivre byl dobrým přítelem Newtona a roku 1698 dokonce napsal, že Newtonovi byl tento vzorec znám již v roce 1676.

Tato věta může být odvozena též z Eulerova vzorce eix = cos x + i sin x , který je ovšem historicky mladší.

Užití věty

Větu lze použít k výpočtu n-té odmocniny z komplexního čísla.

Zapíšeme-li komplexní číslo v jeho goniometrickém tvaru

z = A ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) , {\displaystyle z=A(\cos x+i\sin x),\,}

pak všech jeho n {\displaystyle n\,\!} odmocnin n {\displaystyle n\,\!} -tého stupně lze zapsat jako

z 1 / n = ( A ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) ) 1 / n = { A 1 / n ( cos ⁡ ( x + 2 k π n ) + i sin ⁡ ( x + 2 k π n ) ) : 0 ≤ k ≤ n − 1 } {\displaystyle z^{1/n}=(A(\cos x+i\sin x))^{1/n}=\{A^{1/n}(\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)):0\leq k\leq n-1\}}

Důkaz

Uvažujme tři případy:

Pro n > 0 použijeme indukci. Pro n = 1 rovnost evidentně platí. Uvažujme indukční krok n → n0 + 1

( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n 0 + 1 {\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n_{0}+1}\,}
= ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n 0 ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) {\displaystyle =(\cos x+i\sin x)^{n_{0}}(\cos x+i\sin x)\,}
= ( cos ⁡ ( n 0 x ) + i sin ⁡ ( n 0 x ) ) ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) {\displaystyle =(\cos(n_{0}x)+i\sin(n_{0}x))(\cos x+i\sin x)\,} (z indukčního předpokladu)
= cos ⁡ ( n 0 x ) cos ⁡ x − sin ⁡ ( n 0 x ) sin ⁡ x + i ( cos ⁡ ( n 0 x ) sin ⁡ x + sin ⁡ ( n 0 x ) cos ⁡ x ) {\displaystyle =\cos(n_{0}x)\cos x-\sin(n_{0}x)\sin x+i(\cos(n_{0}x)\sin x+\sin(n_{0}x)\cos x)\,}

Zde použijeme goniometrické součtové vzorce: sin(x + y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y) a cos(x + y) = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y).

= cos ⁡ ( ( n 0 + 1 ) x ) + i sin ⁡ ( ( n 0 + 1 ) x ) {\displaystyle =\cos((n_{0}+1)x)+i\sin((n_{0}+1)x)\,}

Odvodili jsme, že rovnost platí pro n = n0 + 1, jestliže platí pro n0, a tedy indukcí platí pro všechna n přirozená.

Pro n = 0 rovnost platí, protože cos ⁡ ( 0 x ) + i sin ⁡ ( 0 x ) = 1 + i ⋅ 0 = 1 {\displaystyle \cos(0x)+i\sin(0x)=1+i\cdot 0=1} a nultá mocnina z komplexního čísla je též 1.

Pro n < 0 vezměme přirozené m takové, aby n = −m. Potom

( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n = ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) − m {\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}\,=(\cos x+i\sin x)^{-m}\,}
= 1 ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) m = 1 ( cos ⁡ ( m x ) + i sin ⁡ ( m x ) ) {\displaystyle ={\frac {1}{(\cos x+i\sin x)^{m}}}={\frac {1}{(\cos(mx)+i\sin(mx))}}\,} (shora)
= cos ⁡ ( m x ) − i sin ⁡ ( m x ) {\displaystyle =\cos(mx)-i\sin(mx)\,}
= cos ⁡ ( − m x ) + i sin ⁡ ( − m x ) = cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x ) . {\displaystyle =\cos(-mx)+i\sin(-mx)\,=\cos(nx)+i\sin(nx).\,}

Tvrzení tedy platí pro všechna n celá. Q.E.D.

Poznámka: Moivreova věta je ve skutečnosti trochu obecnější, pokud by z a w byla čísla komplexní, pak cos (wz) + i⋅sin (wz) je jednou z (více) možných úprav výrazu (cos z + i⋅sin z)w.

Související články