Akce grupy na množině je jisté zobrazení mezi množinou a grupou (definované níže) s odpovídajícími vlastnostmi. Má spojitost např. se studiem automorfismů či charakteristických podgrup.
Definice
Nechť
je grupa a
neprázdná množina. Zobrazení
nazveme akcí grupy
na množině
(také působením
na
) jestliže:
pro všechna ![{\displaystyle g_{1},g_{2}\in G,a\in A\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/befe8b3e5964fcb8b8d0dc2615f72f2486dc78bd)
pro všechna
(kde
je neutrální prvek
)
Jinak řečeno prvek
působí na
stejně, jako působí
na
.
Reprezentace permutacemi
Nechť
působí na
a pro pevně zvolené
označme
zobrazení
dané předpisem
. Pak platí:
- pro libovolné
je
permutace na množině
, - zobrazení
dané vztahem
, je homomorfismus grup.
Zobrazení
se nazývá reprezentace permutacemi odpovídající dané akce grupy
na množině
.
Akce grupy
na
se nazývá triviální, resp. věrnou, jestliže
, resp. reprezentace permutacemi odpovídající této akci je injektivní zobrazení.
Jádro akce a stabilizátor prvku
Jádro akce grupy
na množině
se nazývá množina
(přičemž tato množina je shodná s
).
Je-li pevně zvolen prvek
, pak množinu
nazýváme stabilizátor prvku
. Platí, že jádro akce je průnikem všech stabilizátorů (symbolicky
).
Stabilizátor prvku
tvoří podgrupu grupy G a jádro akce je dokonce normální podgrupa této grupy.
Orbita prvku
Množina
se nazývá orbita prvku
.
Akce grupy G se nazývá tranzitivní, jestliže má právě jednu orbitu (tj.
).
Působí-li grupa G na konečné množině A, pak platí, že
.
Tranzitivní akce a homogenní prostor
Říkáme, že grupa
má na
tranzitivní akci, pokud pro každé
existuje
takové, že
.
Ekvivalentně, akce je tranzitivní pokud pro jedno pevné
a každé
existuje
takové, že
a
má tedy jenom jednu orbitu.
Pokud má
na množině
tranzitivní akci, můžeme množinu
reprezentovat jako homogenní prostor
![{\displaystyle A\simeq G/G_{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1227b917a4dafd65c39a78be15bc3f9210ed7f7)
kde
je stabilizátor jednoho prvku
a
je množina levých rozkladových tříd. Identifikace je
a je jednoznačná,neboť
- Díky tranzitivní akci existuje pro každé
příslušné ![{\displaystyle g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
- Pokud
tak
, tedy
a
.
Zobrazení
je tedy bijekce.
Reprezentace množiny jako levých rozkladových tříd
se nazývá v geometrii homogenní prostor a tvoří základ tzv. Kleinovy geometrie. Například Eukleidovské geometrii jsou vlastní Eukleidova grupa Euc(n) všech rotací, zrcadlení a posunutí. Tato grupa má na Eukleidově prostoru tranzitivní akci a stabilizátor pevně daného bodu je grupa O(n) všech otočení a zrcadlení takových které bod zachovávají. Eukleidův prostor
dimenze
tedy můžeme reprezentovat jako
![{\displaystyle E(n)\simeq Euc(n)/O(n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1725bbbe628451d91e073cfa8acf8a8751b172b9)
Odkazy
Související články
- Cayleyova věta
- Grupa
- Množina
Externí odkazy
Obrázky, zvuky či videa k tématu akce grupy na množině na Wikimedia Commons
Portály: Matematika