Teorema de Parseval

En matemàtiques, el teorema de Parseval demostra que la Transformada de Fourier és unitària, és a dir, que la suma (o la integral) del quadrat d'una funció és igual a la suma (o a la integral) del quadrat de la seva transformada. Aquesta relació procedeix d'un teorema de 1799 sobre sèries, el creador va ser Marc Antoine Parseval. Aquesta relació es va aplicar més tard a les Sèries de Fourier.

Encara que el teorema de Parseval se sol usar per indicar la unicitat de qualsevol transformada de Fourier, sobretot en física i enginyeria, la forma generalitzada d'aquest teorema és el Teorema de Plancherel.

Fórmula

En física i enginyeria, la relació de Parseval se sol escriure com:

∫ − ∞ ∞ | f ( t ) | 2 d t = ∫ − ∞ ∞ | F [ f ( t ) ] ( α ) | 2 d α {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(t)|^{2}dt=\int _{-\infty }^{\infty }|{\mathcal {F}}[f(t)](\alpha )|^{2}d\alpha }
On F [ f ( t ) ] ( α ) {\displaystyle {\mathcal {F}}[f(t)](\alpha )} representa la transformada contínua de Fourier de x ( t ) i α representa la freqüència (en hertz s) de x .

La interpretació d'aquesta fórmula és que l'energia total del senyal x ( t ) és igual a l'energia total de la seva transformada de Fourier X ( f ) al llarg de totes les seves components freqüencials.

Per senyals de temps discret, la relació és la següent:

∑ n = − ∞ ∞ | x [ n ] | 2 = ∫ − π π | X ( e j ϕ ) | 2 d ϕ {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|^{2}=\int _{-\pi }^{\pi }|X(e^{j\phi })|^{2}d\phi }
On X és la transformada de Fourier de temps discret (DTFT) de x i φ representa la freqüència angular (en radians) d ' x .

D'altra banda, per a la transformada discreta de Fourier (DFT), la relació és:

∑ n = 0 N − 1 | x [ n ] | 2 = 1 N ∑ k = 0 N − 1 | X [ k ] | 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2}}
On X [ k ] és la DFT de x [ n ], ambdues de longitud N .

Vegeu també

  • Desigualtat de Bessel
  • Identitat de Parseval

Referències

  • O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Teorema de Parseval» (en anglès). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland.
  • George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Harcourt: San Diego, 2001).
  • Hubert Kennedy, Eight Mathematical Biographies (Peremptory Publications: San Francisco, 2002).
  • Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing 2nd Edition (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) p 60.
  • William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), pp. 410-411.

Enllaços externs

  • Relació de Parseval a Mathworld (en anglès)