Segment circular

Aquest article té bibliografia, però no se sap quina referència verifica cada part.
Podeu millorar aquest article assignant cadascuna d'aquestes obres a frases o paràgrafs concrets.

Un segment circular o segment d'un cercle és en geometria la porció d'un cercle limitada per una corda i l'arc corresponent.

Fórmules

Un segment circular (en verd) està comprès entre una recta secant o corda (la línia discontínua) i l'arc els punts extrems són els de la corda.

Sigui R el radi del cercle, θ l'angle central, c la longitud de la corda, s la longitud de l'arc, h l'alçada del segment circular, i d l'altura de la porció triangular.

  • El radi és R = h + d {\displaystyle R=h+d{\frac {}{}}}
  • La longitud de l'arc és s = R ⋅ θ {\displaystyle s=R\cdot \theta } on θ {\displaystyle \theta \,} està en radians.
  • La longitud de la corda és c = 2 R sin ⁡ θ 2 = R 2 − 2 cos ⁡ θ {\displaystyle c=2R\sin {\frac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2-2\cos \theta }}}
  • L'altura és h = R ( 1 − cos ⁡ θ 2 ) {\displaystyle h=R(1-\cos {\frac {\theta }{2}})}
  • L'angle és θ = 2 arccos ⁡ d R {\displaystyle \theta =2\arccos {\frac {d}{R}}}

Àrea

L'àrea del segment circular és igual a l'àrea del sector circular menys l'àrea de la porció triangular.

A = π R 2 ⋅ θ 2 π − R 2 sin ⁡ θ 2 = R 2 2 ( θ − sin ⁡ θ ) {\displaystyle A=\pi R^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}-{\frac {R^{2}\sin \theta }{2}}={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)}
Demostració alternativa
L'àrea del sector circular és: A = π R 2 ⋅ θ 2 π = R 2 ⋅ θ 2 {\displaystyle A=\pi R^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}={\frac {R^{2}\cdot \theta }{2}}}

Si es bisecciona l'angle θ {\displaystyle \theta } , i per tant la porció triangular, s'obtenen dos triangles amb àrea total:

R sin ⁡ θ 2 ⋅ R cos ⁡ θ 2 = R 2 sin ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 {\displaystyle R\sin {\frac {\theta }{2}}\cdot R\cos {\frac {\theta }{2}}=R^{2}\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}}

Atès que l'àrea del segment és l'àrea del sector menys l'àrea de la porció triangular, s'obtenen

A = R 2 ( θ 2 − sin ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 ) {\displaystyle A=R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}

D'acord amb la identitat trigonomètrica d'angle doble sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ {\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta \,} , per tant:

sin ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 = 1 2 sin ⁡ θ {\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}={\frac {1}{2}}\sin \theta }

amb el que resulta que l'àrea és: A = R 2 ( θ 2 − 1 2 sin ⁡ θ ) = R 2 2 ( θ − sin ⁡ θ ) {\displaystyle A=R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-{\frac {1}{2}}\sin \theta \right)={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)}

Vegeu també

Enllaços externs

  • Weisstein, Eric W., «Segment circular» a MathWorld (en anglès).
  • Definició d'un segment circular amb animació interactiva (en anglès)
  • Fórmula per l'àrea d'un segment circular amb animació interactiva (en anglès)
Bases d'informació
  • GEC (1)