Integral de Txebixov

Pafnuti Txebixov (1821-1894)

La integral de Txebixov está donada per

Integral de Txebixov

∫ 0 x x p ( 1 − x ) q d x = B ( x ; 1 + p , 1 + q ) {\displaystyle \int _{0}^{x}x^{p}(1-x)^{q}dx=B(x;1+p,1+q)} ,


Pafnuti L. Txebixov (1821-1894)

on B ( x ; a , b ) {\displaystyle B(x;a,b)} és la funció beta incompleta.

Teorema d'integració dels binomis diferencials

Txebixov va demostrar que les integrals indefinides binòmiques de la forma:[1]

∫ x m ( a + b x n ) p d x {\displaystyle \int x^{m}(a+b\,x^{n})^{p}dx}

són funcions elementals únicament si almenys una de les expressions p {\displaystyle \scriptstyle p} , ( m + 1 n ) {\displaystyle \scriptstyle ({\frac {m+1}{n}})} o p + ( m + 1 n ) {\displaystyle \scriptstyle p+({\frac {m+1}{n}})} és un número enter. En un altre cas, no poden representar-se en termes de funcions elementals.[2]

Exemple

  • ∫ x 3 ( 1 + 2 x 2 ) − 3 2 d x {\displaystyle \int x^{3}(1+2x^{2})^{-{\frac {3}{2}}}dx} on p = − 3 2 {\displaystyle p=-{\frac {3}{2}}} , n = 2 {\displaystyle n=2} i m = 3 {\displaystyle m=3} , o sigui, m + 1 n = 3 + 1 2 = 2 {\displaystyle {\frac {m+1}{n}}={\frac {3+1}{2}}=2} .

Llavors, 1 + 2 x 2 = z 2 ⟶ x = z 2 − 1 2 ⟶ d x = 1 2 z z 2 − 1 d z {\displaystyle 1+2x^{2}=z^{2}\longrightarrow x={\sqrt {\frac {z^{2}-1}{2}}}\longrightarrow dx={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}dz} .

Per tant, F ( x ) = ∫ ( z 2 − 1 2 ) 3 2 ( z 2 ) − 3 2 z ( z 2 − 1 ) − 1 2 d z = 1 4 ∫ z − 2 ( z 2 − 1 ) d z = 1 4 ∫ ( 1 − 1 z 2 ) d z = 1 4 ( z + 1 z ) + C = 1 4 ( 1 + 2 x 2 + 1 1 + 2 x 2 ) + C . {\displaystyle F(x)=\int {\bigg (}{\frac {z^{2}-1}{2}}{\biggr )}^{\frac {3}{2}}(z^{2})^{-{\frac {3}{2}}}z(z^{2}-1)^{-{\frac {1}{2}}}dz={\frac {1}{4}}\int z^{-2}(z^{2}-1)dz={\frac {1}{4}}\int {\biggl (}1-{\frac {1}{z^{2}}}{\biggl )}dz={\frac {1}{4}}{\biggr (}z+{\frac {1}{z}}{\biggr )}+C={\frac {1}{4}}{\biggr (}{\sqrt {1+2x^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {1+2x^{2}}}}{\biggr )}+C.}

Referències

  1. ↑ Michiel Hazewinkel (ed.). Differential binomial. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
  2. ↑ Michiel Hazewinkel (ed.). Chebyshev theorem on the integration of binomial differentials. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 

Bibliografia

  • Weisstein, Eric W., «Chebyshev Integral» a MathWorld (en anglès).