Gradient (matemàtiques)

En càlcul vectorial, el gradient ${\displaystyle \nabla f}$ d'un camp escalar ${\displaystyle f}$ és un camp vectorial que indica en cada punt del camp escalar la direcció del màxim increment d'ell mateix. El gradient es representa mitjançant l'operador diferencial nabla ${\displaystyle \nabla }$ seguit de la funció.

Definició

Un gradient d'un camp escalar en un punt és el vector definit com l'únic que permet trobar la derivada direccional en qualsevol direcció com a

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial n}}=({\rm {grad\phi )\cdot {\hat {n}}}}}$

on ${\displaystyle {\hat {n}}}$ és un vector unitari i ${\displaystyle \partial \phi /\partial n}$ la derivada direccional de ${\displaystyle \phi }$ en la direcció de ${\displaystyle {\hat {n}}}$ (que informa sobre la raó de variació del camp escalar al desplaçar-nos segons aquesta direcció):

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial n}}\equiv \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\phi ({\vec {r}}+\epsilon {\hat {n}})-\phi ({\vec {r}})}{\epsilon }}}$

Una forma equivalent de definir el gradient és com l'únic vector que, multiplicat per qualsevol desplaçament infinitesimal, dona el diferencial del camp escalar

${\displaystyle d\phi =\phi \left({\vec {r}}+d{\vec {r}}\right)-\phi \left({\vec {r}}\right)=\nabla \phi \cdot d{\vec {r}}}$

Amb la definició anterior, el gradient està caracteritzat de forma unívoca.

El gradient s'expressa alternativament mitjançant l'ús de l'operador nabla

${\displaystyle {\rm {grad}}\phi =\nabla \phi }$

Propietats

El gradient verifica que:

• És ortogonal a les superfícies definides per ${\displaystyle \phi \,\!}$ = ct.
• Apunta en la direcció en què la derivada direccional és màxima.
• El seu mòdul és igual a la derivada direccional màxima.
• S'anul·la en els punts estacionaris màxims, mínims.
• El camp format pel gradient en cada punt és sempre irrotacional, és a dir, ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )\equiv {\vec {0}}}$

Expressió en diferents sistemes de coordenades

A partir de la definició de gradient, es pot trobar l'expressió en diferents sistemes de coordenades. Així, en coordenades cartesianes, és

${\displaystyle \nabla \phi ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\end{pmatrix}}}$

En un sistema de coordenades ortogonals, el gradient necessita els factors d'escala, mitjançant l'expressió

${\displaystyle \nabla \phi ={\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{1}}}{\hat {q}}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{2}}}{\hat {q}}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{3}}}{\hat {q}}_{3}}$

Per coordenades cilíndriques (${\displaystyle h_{\rho }=h_{z}=1}$, ${\displaystyle h_{\varphi }=\rho }$) resulta

${\displaystyle \nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}{\hat {\rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}}$

i finalment per coordenades esfèriques (${\displaystyle h_{r}=1}$, ${\displaystyle h_{\theta }=r}$, ${\displaystyle h_{\varphi }=r{\rm {sin}}\theta }$)

${\displaystyle \nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial r}}{\hat {r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}{\hat {\theta }}+{\frac {1}{r\,{\rm {sin}}\,\theta }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}}$

Exemple

Donada la funció ${\displaystyle \phi =2x+3y^{2}-\sin(z)}$, el seu gradient associat és:

${\displaystyle \nabla \phi ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{2},{6y},{-\cos(z)}\end{pmatrix}}.}$

Vegeu també

• Divergència