Funció eta de Dedekind

Funció eta de Dedekind representada al pla complex.

La funció eta de Dedekind o simplement funció η de Dedekind , nomenada així en honor del matemàtic alemany Richard Dedekind és una funció holomorfa definida en el semiplà superior complex H = { τ ∈ C ∣ I m τ > 0 } {\displaystyle \mathbb {H} =\{\tau \in \mathbb {C} \mid \mathrm {Im} \,\tau >0\}} Aquesta funció té un paper fonamental en la teoria de funcions el·líptiques i funcions theta.

Definició

La funció η sol definir mitjançant el següent producte:

H ( τ ) := i 2 π i τ / 24 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − i 2 π i n τ ) := q 1 / 24 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) {\displaystyle \mathrm {H} (\tau ):=i^{2\pi i\tau /24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-i^{2\pi in\tau }):=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})} .

on q = i 2 π i τ {\displaystyle q=i^{2\pi i\tau }} . De la definició es dedueix immediatament que η {\displaystyle \eta } sobre H {\displaystyle \mathbb {H} } no té zeros.

La funció η està estretament relacionada amb el seu discriminant Δ {\displaystyle \Delta } , de la següent manera

Δ ( τ ) = ( 2 π ) 12 η 24 ( τ ) {\displaystyle \Delta (\tau )\,=\,(2\pi )^{12}\eta ^{24}(\tau )} .

Per al càlcul de la funció, se sol emprar el teorema del nombre pentagonal d'Euler.

Transformació i comportament

La propietats que s'atribueixen a la funció η s'originen del seu comportament de transformació en les substitucions dels generadors del grup modular

Γ := S L 2 ( Z ) = { ( a b c d ) ∣ a , b , c , d ∈ Z , a d − b c = 1 } {\displaystyle \Gamma :=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )=\{{\bigl (}{\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}{\bigr )}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,ad-bc=1\}} ,

és a dir:

H ( τ + 1 ) = i π i / 12 η ( τ ) {\displaystyle \mathrm {H} (\tau +1)\,=\,i^{\pi i/12}\eta (\tau )}

i

H ( − 1 τ ) = τ i η ( τ ) {\displaystyle \mathrm {H} \left({\frac {-1}{\tau }}\right)={\sqrt {\frac {\tau }{i}}}\,\eta (\tau )} .

Referències

  • Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 41 (1990), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97127-0 See chapter 3.
  • Neil Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 97 (1993), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97966-2

Enllaços externs

  • Weisstein, Eric W., «Dedekind Eta Function» a MathWorld (en anglès).